Решите задачи 4, 5, 6, 7 по стереометрии про квадраты, треугольники и их проекции на плоскость.

4. а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. Так как диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, то расстояние от $O$ до плоскости $\alpha$ равно среднему арифметическому расстояний от вершин $C$ и $A$ до этой плоскости. Вершина $A$ лежит на плоскости $\alpha$ (расстояние равно 0), вершина $C$ удалена на 10 см. Расстояние $h = \frac{0 + 10}{2} = 5$ см. Ответ: 5 см. б) Пусть $CH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$. В прямоугольном треугольнике $CAH$: $AC$ — диагональ квадрата, $AC = AB\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$ см, $CH = 10$ см. $\sin \phi = \frac{CH}{AC} = \frac{10}{20\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$. $\phi = \arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}$. Ответ: $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}$. 5. Пусть $KLP$ — правильный треугольник, $a=4$ см. Точка $O$ — его центр. Расстояние от $O$ до стороны треугольника (радиус вписанной окружности) $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см. По теореме Пифагора из треугольника, образованного перпендикуляром $OM$, радиусом $r$ и апофемой (расстоянием до стороны): $d = \sqrt{OM^2 + r^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{4 + \frac{4 \cdot 3}{9}} = \sqrt{4 + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см. Ответ: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ см. 6. Пусть $AB = 2x, BC = x$. Площадь $ABCD$ равна $2x^2$. Проекция $A_1BCD_1$ является квадратом со стороной $x$ (так как $BC = x$), значит его площадь $x^2$. Косинус угла $\gamma$ между плоскостями равен отношению площадей: $\cos \gamma = \frac{S_{пр}}{S} = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\gamma = 60^\circ$. Ответ: $60^\circ$. 7. Пусть общая гипотенуза $AC$. Так как треугольники равнобедренные и прямоугольные, то $AB=BC=3$ см, $AC = 3\sqrt{2}$ см. Пусть $M$ — середина $AC$. Медианы $BM$ и $DM$ являются высотами. $BM = DM = \frac{1}{2}AC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см. Так как плоскости перпендикулярны, треугольник $BMD$ прямоугольный ($\angle BMD = 90^\circ$). Расстояние $BD = \sqrt{BM^2 + DM^2} = \sqrt{(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{18}{4} + \frac{18}{4}} = \sqrt{9} = 3$ см. Ответ: 3 см.