1. Через вершину А равностороннего треугольника ABC проведена прямая DA, перпендикулярная плоскости треугольника ABC, где М — середина стороны ВС. Докажите, что прямые ВС и МD перпендикулярны.

1. **Доказательство:** 1) Так как $DA \perp (ABC)$, то прямая $DA$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, значит, $DA \perp BC$. 2) $\triangle ABC$ — равносторонний, $M$ — середина $BC$, следовательно, медиана $AM$ является и высотой: $AM \perp BC$. 3) Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $DA$ плоскости $(AMD)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $BC \perp (AMD)$. 4) Так как $BC \perp (AMD)$, то прямая $BC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $MD$. Что и требовалось доказать. 2. **Ответ: $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см** 1) Найдём половину диагонали квадрата $AO$. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см. Тогда $AO = \frac{1}{2}d = \sqrt{2}$ см. 2) Рассмотрим $\triangle AOM$ ($\angle AOM = 90^{\circ}$, так как $OM \perp (ABC)$). 3) По теореме Пифагора: $AM = \sqrt{AO^2 + OM^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{2 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ (см). 3. **Ответ: 11 м** 1) Пусть плоскости $\alpha \perp \beta$, прямая $c$ — линия их пересечения. $AC \perp c$, $BD \perp c$. Так как плоскости перпендикулярны, то $AC \perp \beta$ и $BD \perp \alpha$. 2) Расстояние между основаниями перпендикуляров $CD = 6$ м. 3) В пространстве квадрат расстояния между точками $A$ и $B$ вычисляется по теореме Пифагора для пространственного случая (или через достраивание до прямоугольного параллелепипеда): $AB = \sqrt{AC^2 + CD^2 + BD^2}$. 4) $AB = \sqrt{6^2 + 6^2 + 7^2} = \sqrt{36 + 36 + 49} = \sqrt{121} = 11$ (м).