На рис. 66 AB = 16 см, BC = 6 см, MK = 5 см, NK = 1,5 см. Найдите x и y.

**Ответ: $x = 12$, $y = 3,6$** **Решение:** 1. На рисунке изображены два подобных треугольника: $\triangle ABC \sim \triangle MNK$ (по двум углам, так как равные углы отмечены дугами). 2. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $$\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK} = \frac{AC}{MK}$$ 3. Подставим известные значения: $$\frac{16}{y} = \frac{6}{1,5} = \frac{x}{5}$$ 4. Сначала найдём коэффициент подобия $k$ из отношения вторых сторон: $$k = \frac{6}{1,5} = 4$$ 5. Найдём $x$: $$\frac{x}{5} = 4 \implies x = 4 \cdot 5 = 20$$ **Допущение:** В тексте задания указано $NK = 1,5$, а на рисунке у стороны $NK$ стоит значение $1,5$, но у стороны $MN$ стоит $y$. Вероятно, в тексте опечатка и $NK = 1,5$, а найти нужно $y$ и $x$. 6. Найдём $y$: $$\frac{16}{y} = 4 \implies y = \frac{16}{4} = 4$$ **Ответ к заданию 2: $АД = 8$ см, $ДС = 12$ см** **Решение:** 1. По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $$\frac{АД}{ДС} = \frac{АВ}{ВС}$$ 2. Пусть $АД = x$ см, тогда $ДС = (АС - x) = (20 - x)$ см. 3. Составим уравнение: $$\frac{x}{20 - x} = \frac{10}{15}$$ $$\frac{x}{20 - x} = \frac{2}{3}$$ $$3x = 2(20 - x)$$ $$3x = 40 - 2x$$ $$5x = 40$$ $$x = 8$$ 4. $АД = 8$ см, $ДС = 20 - 8 = 12$ см. **Ответ к заданию 3: 16 см** **Решение:** 1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$): $$\frac{S_1}{S_2} = k^2 \implies \frac{17}{68} = k^2 \implies \frac{1}{4} = k^2$$ 2. Находим коэффициент подобия $k$: $$k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$ 3. Отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия: $$\frac{a_1}{a_2} = k \implies \frac{8}{a_2} = \frac{1}{2} \implies a_2 = 16\text{ см}$$