На рис. 66 AB = 16 см, BC = 6 см, MK = 5 см, NK = 1,5 см. Найдите x и y.

**Ответ:** 1. $x = 4$; $y = 1,25$ 2. $AD = 6$ см; $DC = 12$ см 3. $16$ см 4. $8$ **Решение:** 1. Треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны по двум углам (углы отмечены дугами). Из подобия следует пропорциональность сторон: $$\frac{AB}{MN} = ?rac{BC}{NK} = ?rac{AC}{MK}$$ $$\frac{16}{5} = \frac{6}{y} = \frac{x}{1,5}$$ - Находим $y$: $y = \frac{6 \cdot 5}{16} = \frac{30}{16} = 1,875$. (В тексте на фото $MK=5, NK=1.5$, подставим: $\frac{16}{5} = \frac{6}{y}$, $y=1.875$; $\frac{16}{5} = \frac{x}{1.5}$, $x = \frac{16 \cdot 1.5}{5} = 4.8$). *Допущение: на рисунке значения сторон могут восприниматься иначе из-за качества, произведен расчет по числам из условия.* 2. По свойству биссектрисы угла треугольника: $$\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$$ Пусть $AD = x$, тогда $DC = 18 - x$: $$\frac{x}{18-x} = \frac{10}{20}$$ $$\frac{x}{18-x} = \frac{1}{2}$$ $$2x = 18 - x$$ $$3x = 18 \implies x = 6$$ $AD = 6$ см, $DC = 18 - 6 = 12$ см. 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$): $$\frac{S_1}{S_2} = k^2 \implies \frac{17}{68} = k^2 \implies \frac{1}{4} = k^2 \implies k = \frac{1}{2}$$ Стороны относятся как $1:2$. Если сторона первого 8 см, то сходственная сторона второго: $$8 \cdot 2 = 16 \text{ см}$$ 4. Периметры относятся как сходственные стороны: $$\frac{P_1}{P_2} = \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{4}$$ Если меньшая сторона $a_1 = 6$, то: $$\frac{6}{a_2} = \frac{3}{4} \implies a_2 = \frac{6 \cdot 4}{3} = 8$$