Вариант 1. 1. На рис. 61 AB = 2,5 см, AC = 3 см, MN = 10 см, KN = 8 см. Найдите x и y.

**Ответ: 1. x = 12, y = 12; 2. ВД = 4,67 см, ДС = 5,33 см; 3. 2,4; 4. 6.** 1. На рисунке изображены подобные треугольники $ABC$ и $MNK$ (по двум углам, так как углы при вершинах $B$ и $N$ отмечены дугами, а углы при вершинах $A$ и $M$ также могут считаться соответствующими в силу расположения). Коэффициент подобия $k = \frac{MN}{AB} = \frac{10}{2,5} = 4$. Тогда: $x = BC \cdot k = 3 \cdot 4 = 12$ $y = MK \cdot k$ — здесь допущение, что $y$ соответствует стороне $AC$: $y = AC \cdot 4 = 3 \cdot 4 = 12$. 2. По свойству биссектрисы треугольника: $\frac{AB}{AC} = \frac{BД}{ДC}$. Пусть $BД = z$, тогда $ДC = BC - z = 8 - z$. $$\frac{7}{10} = \frac{z}{8-z}$$ $$10z = 7(8-z)$$ $$10z = 56 - 7z$$ $$17z = 56$$ $z = \frac{56}{17} \approx 3,29$ см ($BД$) $ДC = 8 - 3,29 = 4,71$ см. **Допущение:** Если в условии опечатка и $AC = 10$, а $BC$ — это сумма отрезков, то расчет верный. Однако, если подставить значения $AB=7, AC=10, BC=8$, то: $BД = \frac{7 \cdot 8}{7+10} = \frac{56}{17} \approx 3,29$ см. $ДC = \frac{10 \cdot 8}{7+10} = \frac{80}{17} \approx 4,71$ см. 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S_2} = k^2$. $k^2 = \frac{9}{16} \Rightarrow k = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$. Отношение сходственных сторон: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{4}$. Так как большая сторона $a_2 = 3,2$: $$\frac{a_1}{3,2} = \frac{3}{4}$$ $a_1 = \frac{3,2 \cdot 3}{4} = 0,8 \cdot 3 = 2,4$. 4. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $\frac{P_1}{P_2} = k = \frac{2}{3}$. Меньшая сторона $a_1 = 4$: $$\frac{4}{a_2} = \frac{2}{3}$$ $a_2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.