Вариант 2. 1. В треугольниках ABC и A1B1C1 ∠B = ∠B1, AB/A1B1 = BC/B1C1. Сторона BC = 8 см, A1B1 = 5 см, B1C1 = 10 см. Найдите сторону AB.

Вариант 2 1. Из подобия треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ (по двум сторонам и углу между ними) следует пропорциональность сторон: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \frac{AB}{5} = \frac{8}{10} \Rightarrow AB = \frac{8 \cdot 5}{10} = 4$. **Ответ: 4 см**. 2. Пусть стороны подобного треугольника равны $2x, 3x, 4x$. Периметр — их сумма: $2x + 3x + 4x = 45 \Rightarrow 9x = 45 \Rightarrow x = 5$. Стороны: $2 \cdot 5 = 10$ см, $3 \cdot 5 = 15$ см, $4 \cdot 5 = 20$ см. **Ответ: 10 см, 15 см, 20 см**. 3. Прямая $EF$ отсекает треугольник $AEF$, подобный $ABC$ (по двум углам). $\frac{AE}{AB} = \frac{EF}{BC} \Rightarrow \frac{5}{8} = \frac{6}{BC} \Rightarrow BC = \frac{8 \cdot 6}{5} = 9,6$. **Ответ: 9,6 см**. 4. По свойству биссектрисы угла треугольника: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$. $\frac{6}{AC} = \frac{3}{5} \Rightarrow AC = \frac{6 \cdot 5}{3} = 10$. **Ответ: 10 см**. 5. По теореме о пропорциональных отрезках (теорема Фалеса): отношения отрезков на сторонах угла равны. $\frac{4}{6} = \frac{5}{x} \Rightarrow x = \frac{6 \cdot 5}{4} = 7,5$. **Ответ: 7,5 см**. 6. Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны по двум углам (накрест лежащие при $BC \parallel AD$). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k^2$: $k^2 = \frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = \frac{16}{9} \Rightarrow k = \frac{4}{3}$. Тогда $\frac{AD}{BC} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{BC}{AD} = \frac{3}{4} = 0,75$. **Ответ: 0,75**. 7. В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. Катет $AC$ есть среднее геометрическое между гипотенузой и его проекцией $AH$: $AC^2 = AB \cdot AH \Rightarrow 6^2 = 10 \cdot AH \Rightarrow 36 = 10 \cdot AH \Rightarrow AH = 3,6$. **Ответ: 3,6 см**. 8. Пусть стороны треугольника $a = 10$ см, $b = 15$ см, третья сторона $c$ разделена на отрезки $x$ и $y$, при этом $x + y = 20$. По свойству биссектрисы: $\frac{x}{y} = \frac{a}{b} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$. Система: $\begin{cases} x + y = 20 \\ x = \frac{2}{3}y \end{cases} \Rightarrow \frac{2}{3}y + y = 20 \Rightarrow \frac{5}{3}y = 20 \Rightarrow y = 12, x = 8$. **Ответ: 8 см и 12 см**.