Вариант 2. 1. Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости: ...

**Вариант 2** 1. **Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости:** если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. 2. **Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если** угол между ними равен $90^\circ$. 3. **Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то** и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. 4. **Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если** она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. 5. **Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то** и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. 6. **Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то** они параллельны между собой. 7. **Признак перпендикулярности прямой и плоскости:** если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. 8. **Ответ: грани $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ (или плоскости $AA_1B$ и $AA_1D$)**. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямая $AD$ перпендикулярна плоскостям, содержащим ребра, выходящие из точек $A$ и $D$ перпендикулярно $AD$: это плоскости $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$. 9. **Ответ: $2\sqrt{2}$ см**. Квадрат со стороной $a = 4$ см. Расстояние от центра $O$ до вершин равно половине диагонали: $R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. Так как $OA \perp$ плоскости квадрата (согласно условию $OA$ — отрезок, перпендикулярный плоскости), то расстояние от точки $A$ до вершин квадрата (пусть вершина $K$) ищется по теореме Пифагора из $\triangle AOK$: $AK = \sqrt{OA^2 + OK^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. **Допущение:** В тексте опечатка «расстояние от точки А до вершин квадрата», при этом $OA$ перпендикуляр. Обычно ищется расстояние от конца перпендикуляра до вершин. Если $O$ — центр, а $A$ — точка вне плоскости, то $AK = 2\sqrt{3}$ см. Если же нужно расстояние от $O$ до вершин, то это $2\sqrt{2}$ см. 10. **Ответ: 10**. 1. Так как $BD \perp (ABC)$, то $BD$ перпендикулярна любой прямой в плоскости, значит $BD \perp BC$ и $BD \perp AC$. 2. В $\triangle ABC$ угол $C = 90^\circ$, значит $AC \perp BC$. 3. По теореме о трех перпендикулярах: так как проекция $BC$ наклонной $DC$ перпендикулярна прямой $AC$, то и сама наклонная $DC \perp AC$. Значит, расстояние от $D$ до $AC$ — это длина отрезка $DC$. 4. Из прямоугольного $\triangle DBC$ ($BD \perp BC$): $DC = \sqrt{BD^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.