Точка K — середина ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямой C1K и плоскостью DAA1, если AD = 2√2 см, DC = 3 см, DD1 = 1 см.

**Ответ: 60^\circ** Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, нужно найти угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. 1. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $DAA_1$ — это боковая грань (левая или задняя в зависимости от чертежа). В данном случае это грань $ADD_1A_1$. 2. Прямая $C_1D_1$ перпендикулярна плоскости $ADD_1A_1$, так как в прямоугольном параллелепипеде ребро, выходящее из вершины, перпендикулярно грани, не содержащей это ребро. Значит, точка $D_1$ является ортогональной проекцией точки $C_1$ на плоскость $DAA_1$. 3. Проекцией прямой $C_1K$ на плоскость $DAA_1$ является прямая $D_1K$ (так как проекция $C_1$ — это $D_1$, а точка $K$ уже лежит в этой плоскости). 4. Искомый угол $\alpha$ между прямой $C_1K$ и плоскостью $DAA_1$ — это угол $\angle C_1KD_1$ в прямоугольном треугольнике $\triangle C_1D_1K$ (угол $D_1 = 90^\circ$). 5. Найдем стороны треугольника $\triangle C_1D_1K$: - $C_1D_1 = DC = 3$ см (противоположные ребра параллелепипеда); - В грани $ADD_1A_1$ найдем $D_1K$ по теореме Пифагора из $\triangle D_1DK$. Так как $K$ — середина $AD$, то $DK = \frac{AD}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см. Высота $DD_1 = 1$ см. $$D_1K = \sqrt{DD_1^2 + DK^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3} \text{ см}$$ 6. В прямоугольном треугольнике $\triangle C_1D_1K$ найдем тангенс искомого угла: $$\text{tg } \alpha = \frac{C_1D_1}{D_1K} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$ 7. Если $\text{tg } \alpha = \sqrt{3}$, то $\alpha = 60^\circ$.