В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка N - середина ребра CD. Постройте угол между плоскостями AB1N и ABC

**Ответ: углом между плоскостями $AB_1N$ и $ABC$ является угол $\angle B_1NB$.** **Построение:** 1. Найдём линию пересечения плоскостей $AB_1N$ и $ABC$. Прямая $AN$ лежит в плоскости $ABC$, так как точки $A$ и $N$ принадлежат этой плоскости ($N$ на ребре $CD$). Следовательно, линия пересечения плоскостей — прямая $AN$. 2. Однако в прямоугольном параллелепипеде плоскость основания $ABC$ содержит прямую $AB$. Рассмотрим сечение, проходящее через точки $A, B, B_1, A_1$. 3. Для построения линейного угла двугранного угла нужно провести перпендикуляры к линии пересечения из одной точки. 4. В данном случае проще всего рассмотреть проекцию. Отрезок $B_1B$ перпендикулярен плоскости основания $ABC$. Проведём из точки $B$ перпендикуляр к прямой $AN$. Обозначим точку пересечения как $K$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $B_1K \perp AN$. 5. Угол $\angle B_1KB$ и будет искомым углом между плоскостями. **Допущение:** В тексте задания указана плоскость $AB_1N$. Обычно в таких задачах ищется угол между наклонной плоскостью и основанием. Если под $AB_1N$ подразумевается плоскость, проходящая через точки $A, B_1$ и $N$, то линия пересечения — $AN$. Если же в условии опечатка и имелась в виду плоскость $A_1B_1CD$ или иная стандартная конструкция, ответ может измениться. Но исходя из текста: искомый угол — это угол между перпендикуляром к $AN$, проведенным в плоскости $AB_1N$, и его проекцией на $ABC$.