Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром l, если: а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол φ; б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол α;

Фотография

Ответ ассистента

**Ответ:** а) $V = \frac{\sqrt{3}}{4} l^3 \cos^2 \varphi \sin \varphi$ б) $V = \frac{1}{3} l^3 \cos^2 \alpha \sqrt{3 - 4 \cos^2 \alpha}$ **Решение:** Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, $H$ — высота пирамиды. В правильной треугольной пирамиде в основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a$. $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Высота падает в центр основания (точку пересечения медиан). **а) Дано боковое ребро $l$ и угол $\varphi$ между ребром и плоскостью основания.** 1. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, боковым ребром $l$ и радиусом описанной окружности $R$: $$H = l \sin \varphi$$ $$R = l \cos \varphi$$ 2. В правильном треугольнике сторона $a$ связана с радиусом описанной окружности $R$: $$a = R \sqrt{3} = l \sqrt{3} \cos \varphi$$ 3. Находим площадь основания: $$S_{осн} = \frac{(l \sqrt{3} \cos \varphi)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 l^2 \cos^2 \varphi \sqrt{3}}{4}$$ 4. Находим объем: $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{3} l^2 \cos^2 \varphi}{4} \cdot l \sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{4} l^3 \cos^2 \varphi \sin \varphi$$ **б) Дано боковое ребро $l$ и угол $\alpha$ между ребром и стороной основания.** 1. Рассмотрим боковую грань (равнобедренный треугольник). Сторона основания $a$ является основанием этого треугольника: $$\frac{a}{2} = l \cos \alpha \Rightarrow a = 2l \cos \alpha$$ 2. Находим площадь основания: $$S_{осн} = \frac{(2l \cos \alpha)^2 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} l^2 \cos^2 \alpha$$ 3. Находим радиус описанной окружности $R$: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2l \cos \alpha}{\sqrt{3}}$$ 4. Из прямоугольного треугольника находим высоту $H$ по теореме Пифагора: $$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{l^2 - \frac{4l^2 \cos^2 \alpha}{3}} = l \sqrt{\frac{3 - 4 \cos^2 \alpha}{3}}$$ 5. Находим объем: $$V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} l^2 \cos^2 \alpha \cdot l \sqrt{\frac{3 - 4 \cos^2 \alpha}{3}} = \frac{1}{3} l^3 \cos^2 \alpha \sqrt{3 - 4 \cos^2 \alpha}$$

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения