1. Высота правильной треугольной пирамиды равна a√3; радиус окружности, описанной около ее основания, 2a. Найдите: а) апофему пирамиды; б) угол между боковой гранью и основанием; в) площадь боковой поверхности; г) плоский угол при вершине пирамиды.

**Задание 1** Пусть $H = a\sqrt{3}$ — высота пирамиды, $R = 2a$ — радиус описанной окружности основания. В правильном треугольнике радиус описанной окружности $R$, радиус вписанной окружности $r$ и сторона $b$ связаны соотношениями: $r = \frac{R}{2} = \frac{2a}{2} = a$ $b = R\sqrt{3} = 2a\sqrt{3}$ а) Апофема пирамиды ($l$) находится из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности и апофемой: $l = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$ б) Угол $\alpha$ между боковой гранью и основанием — это угол между апофемой и её проекцией на основание (радиусом вписанной окружности): $\cos \alpha = \frac{r}{l} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ$ в) Площадь боковой поверхности $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P = 3b = 6a\sqrt{3}$: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 6a\sqrt{3} \cdot 2a = 6a^2\sqrt{3}$ г) Плоский угол $\beta$ при вершине пирамиды. Боковое ребро $L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + (2a)^2} = \sqrt{3a^2 + 4a^2} = a\sqrt{7}$. По теореме косинусов для боковой грани со сторонами $L, L, b$: $b^2 = L^2 + L^2 - 2L^2 \cos \beta \Rightarrow (2a\sqrt{3})^2 = 7a^2 + 7a^2 - 14a^2 \cos \beta$ $12a^2 = 14a^2(1 - \cos \beta) \Rightarrow 1 - \cos \beta = \frac{12}{14} = \frac{6}{7} \Rightarrow \cos \beta = \frac{1}{7} \Rightarrow \beta = \arccos\left(\frac{1}{7}\right)$ **Ответ:** а) $2a$; б) $60^\circ$; в) $6a^2\sqrt{3}$; г) $\arccos\left(\frac{1}{7}\right)$ --- **Задание 2** **Ответ: 13 см** Пусть стороны основания $a = 6$ см, $b = 8$ см. Высота $H = 12$ см проектируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. 1. Найдём диагональ основания $d$ по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см. 2. Половина диагонали $R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. 3. Боковое ребро $L$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $H$ и $R$: $L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.