Найдите длину бокового ребра правильной треугольной пирамиды со стороной основания 3√3 см и объемом 20,25 см³.

Для начала найдем площадь основания правильной треугольной пирамиды. Основание — это равносторонний треугольник. Сторона основания $a = 3\sqrt{3}$ см. Площадь основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле: $$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$ Подставляем значение $a$: $$S_{осн} = \frac{(3\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$$ Объем пирамиды $V$ равен $20,25$ см$^3$. Формула объема пирамиды: $$V = \frac{1}{3} S_{осн} H$$ где $H$ — высота пирамиды. Из этой формулы найдем высоту $H$: $$H = \frac{3V}{S_{осн}}$$ Подставляем известные значения: $$H = \frac{3 \cdot 20,25}{\frac{27\sqrt{3}}{4}} = \frac{60,75 \cdot 4}{27\sqrt{3}} = \frac{243}{27\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \text{ см}$$ Теперь найдем радиус описанной окружности $R$ вокруг основания. Для правильного треугольника: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$ Подставляем значение $a$: $$R = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3 \text{ см}$$ Боковое ребро $l$ пирамиды можно найти по теореме Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом описанной окружности $R$ и боковым ребром $l$: $$l^2 = H^2 + R^2$$ Подставляем значения $H$ и $R$: $$l^2 = (3\sqrt{3})^2 + 3^2$$ $$l^2 = (9 \cdot 3) + 9$$ $$l^2 = 27 + 9$$ $$l^2 = 36$$ $$l = \sqrt{36}$$ $$l = 6 \text{ см}$$ **Ответ:** $6 \text{ см}$