Отрезок KA — перпендикуляр к плоскости параллелограмма ABCD. Точка O — точка пересечения AC и BD, KO ⊥ BD. а) Докажите, что ABCD — ромб. б) Докажите перпендикулярность плоскостей KBD и KOA. в) Найдите площадь ABCD, если ∠BKD = 90°, BD = 10 см, KA = 3 см.

**Ответ: в) $40\text{ см}^2$** **а) Доказательство:** 1. Так как $KA \perp (ABCD)$, то отрезок $AO$ является проекцией наклонной $KO$ на плоскость параллелограмма. 2. По условию $KO \perp BD$. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой в плоскости ($KO \perp BD$), то и её проекция перпендикулярна этой прямой ($AO \perp BD$). 3. Значит, диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются под прямым углом ($AC \perp BD$). Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. **б) Доказательство:** 1. Из предыдущего пункта мы знаем, что $BD \perp AC$ (а значит, и $BD \perp AO$). 2. Также $BD \perp KA$, так как $KA$ перпендикулярен всей плоскости $ABCD$, а значит, и любой прямой в ней. 3. Так как прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AO$ и $KA$) плоскости $KOA$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $BD \perp (KOA)$. 4. Плоскость $KBD$ проходит через прямую $BD$, которая перпендикулярна плоскости $KOA$. Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей $(KBD) \perp (KOA)$. **в) Решение:** 1. Рассмотрим треугольник $BKD$. Так как $ABCD$ — ромб, точка $O$ делит диагональ $BD$ пополам: $BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. 2. В прямоугольном треугольнике $BKD$ (где $\angle BKD = 90^\circ$) отрезок $KO$ является медианой, проведенной к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника: $KO = \frac{BD}{2} = 5$ см. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $KAO$ (где $\angle KAO = 90^\circ$, так как $KA \perp (ABCD)$). По теореме Пифагора: $$AO = \sqrt{KO^2 - KA^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ см}$$ 4. Диагональ $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 4 = 8$ см. 5. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40\text{ см}^2$$