Дано: ABCD — параллелограмм. Доказать: прямая MO перпендикулярна плоскости ABC.

Question

Вопрос:

Дано: ABCD — параллелограмм. Доказать: прямая MO перпендикулярна плоскости ABC.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Доказательство:** 1. Рассмотрим треугольники $\triangle MAC$ и $\triangle MBD$. По условию (отмечено на чертеже равными штрихами) наклонные равны парами: $MA = MC$ и $MB = MD$. 2. Так как $MA = MC$, треугольник $\triangle MAC$ — равнобедренный. В нём точка $O$ является серединой основания $AC$ (так как $ABCD$ — параллелограмм, а диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам). Следовательно, медиана $MO$ в равнобедренном треугольнике является также и его высотой: $MO \perp AC$. 3. Аналогично рассмотрим $\triangle MBD$. Так как $MB = MD$, треугольник $\triangle MBD$ — равнобедренный. Точка $O$ — середина основания $BD$. Значит, медиана $MO$ является высотой: $MO \perp BD$. 4. Мы получили, что прямая $MO$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $BD$, лежащим в плоскости $ABC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, $MO \perp ABC$. Что и требовалось доказать.

Дано: ABCD — параллелограмм. Доказать: прямая MO перпендикулярна плоскости ABC.

Ответ ассистента

Другие решения