Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая OM так, что MA = MC, MB = MD. Докажите, что прямая OM перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

128. Дано: параллелограмм $ABCD$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Прямая $OM$ проведена так, что $MA = MC$ и $MB = MD$. Доказать, что прямая $OM$ перпендикулярна плоскости параллелограмма. Доказательство: 1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Значит, $AO = OC$ и $BO = OD$. 2. Рассмотрим $\triangle AMC$. Так как $MA = MC$, то $\triangle AMC$ — равнобедренный. Медиана $MO$ в равнобедренном треугольнике является также высотой, поэтому $MO \perp AC$. 3. Рассмотрим $\triangle BMD$. Так как $MB = MD$, то $\triangle BMD$ — равнобедренный. Медиана $MO$ в равнобедренном треугольнике является также высотой, поэтому $MO \perp BD$. 4. Прямая $OM$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $BD$, лежащим в плоскости параллелограмма $ABCD$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $OM$ перпендикулярна плоскости параллелограмма $ABCD$. **Что и требовалось доказать.**