326. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке. 327. Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке?

Для того чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, необходимо проверить выполнение условия $F'(x) = f(x)$ на заданном промежутке. **326.** а) $F'(x) = (x^5)' = 5x^4$. Так как $5x^4 = f(x)$, то $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ на $(-\infty; \infty)$. б) $F'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}$. Так как $-3x^{-4} = f(x)$, то $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ на $(0; \infty)$. в) $F'(x) = (\frac{1}{7}x^7)' = \frac{1}{7} \cdot 7x^6 = x^6$. Так как $x^6 = f(x)$, то $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ на $(-\infty; \infty)$. г) $F'(x) = (-\frac{1}{6}x^{-6})' = -\frac{1}{6} \cdot (-6)x^{-7} = x^{-7}$. Так как $x^{-7} = f(x)$, то $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ на $(0; \infty)$. **327.** а) **Ответ: Нет.** $F'(x) = (3 - \sin x)' = 0 - \cos x = -\cos x$. $-\cos x \neq \cos x$, следовательно, не является. б) **Ответ: Да.** $F'(x) = (5 - x^4)' = 0 - 4x^3 = -4x^3$. $-4x^3 = f(x)$, следовательно, является. в) **Ответ: Да.** $F'(x) = (\cos x - 4)' = -\sin x - 0 = -\sin x$. $-\sin x = f(x)$, следовательно, является. г) **Допущение:** функция $f(x)$ в пункте г) обрезана, предположим $f(x) = -2x^{-3}$. $F'(x) = (x^{-2} + 2)' = -2x^{-3} + 0 = -\frac{2}{x^3}$. Если в условии $f(x) = -\frac{2}{x^3}$, то **Ответ: Да.**