Реши систему неравенств а) (x+1)(5-x)<0 и 5(3x-1)-3(5x+4)<19x

Реши систему неравенств: a) 1. Решим первое неравенство: $$(x+1)(5-x)<0$$ Раскроем скобки: $$5x - x^2 + 5 - x < 0$$ $$-x^2 + 4x + 5 < 0$$ Умножим на -1 и поменяем знак неравенства: $$x^2 - 4x - 5 > 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ Так как парабола направлена ветвями вверх ($a=1>0$) и неравенство $x^2 - 4x - 5 > 0$, решение: $$x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty)$$ 2. Решим второе неравенство: $$5(3x-1)-3(5x+4)<19x$$ Раскроем скобки: $$15x - 5 - 15x - 12 < 19x$$ $$-17 < 19x$$ Разделим на 19: $$x > -\frac{17}{19}$$ Решение: $$x \in \left(-\frac{17}{19}; +\infty\right)$$ 3. Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $$x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty)$$ и $$x \in \left(-\frac{17}{19}; +\infty\right)$$ Число $-\frac{17}{19}$ находится между -1 и 5. Точнее, $-\frac{17}{19} \approx -0.89$. Значит, $-\frac{17}{19} > -1$. Пересечение будет: $$\left(-\frac{17}{19}; -1\right) \cup (5; +\infty)$$ **Ответ:** $$\left(-\frac{17}{19}; -1\right) \cup (5; +\infty)$$ б) 1. Решим первое неравенство: $$(x-4)(x-7)\ge 0$$ Корни квадратного уравнения $(x-4)(x-7) = 0$ это $x_1 = 4$ и $x_2 = 7$. Так как парабола направлена ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1) и неравенство $\ge 0$, решение: $$x \in (-\infty; 4] \cup [7; +\infty)$$ 2. Решим второе неравенство: $$(7-x)(x-8)\le 0$$ Умножим на -1, чтобы сделать старший коэффициент положительным (изменить $7-x$ на $x-7$), и поменяем знак неравенства: $$-(x-7)(x-8)\le 0$$ $$(x-7)(x-8)\ge 0$$ Корни квадратного уравнения $(x-7)(x-8) = 0$ это $x_1 = 7$ и $x_2 = 8$. Так как парабола направлена ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1) и неравенство $\ge 0$, решение: $$x \in (-\infty; 7] \cup [8; +\infty)$$ 3. Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $$x \in (-\infty; 4] \cup [7; +\infty)$$ и $$x \in (-\infty; 7] \cup [8; +\infty)$$ Общие интервалы: $$(-\infty; 4] \cup \{7\} \cup [8; +\infty)$$ Точка $x=7$ является общей для обоих интервалов $[7; +\infty)$ и $(-\infty; 7]$. **Ответ:** $$(-\infty; 4] \cup \{7\} \cup [8; +\infty)$$ в) 1. Решим первое неравенство: $$(x-4)(x-7)\ge 0$$ Корни квадратного уравнения $(x-4)(x-7) = 0$ это $x_1 = 4$ и $x_2 = 7$. Так как парабола направлена ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1) и неравенство $\ge 0$, решение: $$x \in (-\infty; 4] \cup [7; +\infty)$$ 2. Решим второе неравенство: $$4x-5-4(3x-2)<7x$$ Раскроем скобки: $$4x - 5 - 12x + 8 < 7x$$ $$-8x + 3 < 7x$$ Перенесем $7x$ в левую часть, а 3 в правую: $$-8x - 7x < -3$$ $$-15x < -3$$ Разделим на -15 и поменяем знак неравенства: $$x > \frac{-3}{-15}$$ $$x > \frac{1}{5}$$ Решение: $$x \in \left(\frac{1}{5}; +\infty\right)$$ 3. Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $$x \in (-\infty; 4] \cup [7; +\infty)$$ и $$x \in \left(\frac{1}{5}; +\infty\right)$$ Так как $\frac{1}{5} = 0.2$, то $\frac{1}{5} < 4$. Пересечение будет: $$\left(\frac{1}{5}; 4\right] \cup [7; +\infty)$$ **Ответ:** $$\left(\frac{1}{5}; 4\right] \cup [7; +\infty)$$