Найдите период свободных электромагнитных колебаний в контуре с параметрами: а)C = 5 мкФ, L = 15 мкГн; б)C = 6 нФ, L = 0.49 Гн; в)C = 8∙10^-5 Ф, L = 2 мГн.

1. Чтобы найти период свободных электромагнитных колебаний, воспользуемся формулой Томсона: $$T = 2\pi\sqrt{LC}$$ а) $C = 5 \text{ мкФ} = 5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$, $L = 15 \text{ мкГн} = 15 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$ $$T = 2\pi\sqrt{5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 15 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}} = 2\pi\sqrt{75 \cdot 10^{-12}} \approx 2\pi \cdot 8.66 \cdot 10^{-6} \approx 5.44 \cdot 10^{-5} \text{ с}$$ б) $C = 6 \text{ нФ} = 6 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$, $L = 0.49 \text{ Гн}$ $$T = 2\pi\sqrt{6 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} \cdot 0.49 \text{ Гн}} = 2\pi\sqrt{2.94 \cdot 10^{-9}} \approx 2\pi \cdot 5.42 \cdot 10^{-5} \approx 3.40 \cdot 10^{-4} \text{ с}$$ в) $C = 8 \cdot 10^{-5} \text{ Ф}$, $L = 2 \text{ мГн} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$ $$T = 2\pi\sqrt{8 \cdot 10^{-5} \text{ Ф} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}} = 2\pi\sqrt{16 \cdot 10^{-8}} = 2\pi \cdot 4 \cdot 10^{-4} \approx 2.51 \cdot 10^{-3} \text{ с}$$ **Ответ:** **а) $T \approx 5.44 \cdot 10^{-5}$ с** **б) $T \approx 3.40 \cdot 10^{-4}$ с** **в) $T \approx 2.51 \cdot 10^{-3}$ с** 2. Частота колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона, а именно: $$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$ Тогда, чтобы найти индуктивность катушки, выразим $L$: $$\nu^2 = \frac{1}{4\pi^2LC} \Rightarrow L = \frac{1}{4\pi^2\nu^2C}$$ Подставляем значения: $C = 2 \text{ пФ} = 2 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$, $\nu = 0.5 \text{ МГц} = 0.5 \cdot 10^6 \text{ Гц}$. $$L = \frac{1}{4\pi^2 (0.5 \cdot 10^6 \text{ Гц})^2 \cdot 2 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 0.25 \cdot 10^{12} \cdot 2 \cdot 10^{-12}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 0.5} = \frac{1}{2\pi^2} \approx \frac{1}{2 \cdot 9.87} \approx \frac{1}{19.74} \approx 0.0506 \text{ Гн}$$ **Ответ: $L \approx 0.0506$ Гн** 3. Период свободных электромагнитных колебаний в контуре определяется формулой Томсона: $$T = 2\pi\sqrt{LC}$$ Если пространство между обкладками конденсатора заполнить стеклом, то ёмкость конденсатора увеличится в $\varepsilon$ раз, где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость стекла. Соответственно, период колебаний также изменится. Диэлектрическая проницаемость стекла обычно в диапазоне от 3 до 10. Допустим, $\varepsilon = 5$. Дано: $L = 3 \text{ мГн} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$, $C = 13.4 \text{ пФ} = 13.4 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$. Начальный период: $$T_1 = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{3 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 13.4 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}} = 2\pi\sqrt{40.2 \cdot 10^{-15}} \approx 2\pi \cdot 6.34 \cdot 10^{-8} \approx 3.98 \cdot 10^{-7} \text{ с}$$ Новая ёмкость: $C_2 = \varepsilon C_1$. Новый период: $$T_2 = 2\pi\sqrt{L C_2} = 2\pi\sqrt{L \varepsilon C_1} = 2\pi\sqrt{\varepsilon} \sqrt{L C_1} = T_1\sqrt{\varepsilon}$$ **Допущение: диэлектрическая проницаемость стекла $\varepsilon = 5$.** $$T_2 \approx 3.98 \cdot 10^{-7} \text{ с} \cdot \sqrt{5} \approx 3.98 \cdot 10^{-7} \text{ с} \cdot 2.236 \approx 8.90 \cdot 10^{-7} \text{ с}$$ **Ответ: Период свободных электромагнитных колебаний увеличится в $\sqrt{\varepsilon}$ раз (например, для $\varepsilon=5$, период будет примерно $8.90 \cdot 10^{-7}$ с).** 4. Для настройки контура на заданную частоту $\nu$ нужно подобрать ёмкость $C$. Используем формулу для частоты: $$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$ Отсюда выразим $C$: $$\nu^2 = \frac{1}{4\pi^2LC} \Rightarrow C = \frac{1}{4\pi^2\nu^2L}$$ Дано: $L = 500 \text{ мкГн} = 500 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$, $\nu = 1 \text{ МГц} = 1 \cdot 10^6 \text{ Гц}$. $$C = \frac{1}{4\pi^2 (1 \cdot 10^6 \text{ Гц})^2 \cdot 500 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 10^{12} \cdot 500 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 500 \cdot 10^6} = \frac{1}{2000\pi^2 \cdot 10^6} \approx \frac{1}{19739 \cdot 10^6} \approx 5.066 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$$ Переведём в пикофарады (пФ): $1 \text{ Ф} = 10^{12} \text{ пФ}$. $$C \approx 5.066 \cdot 10^{-11} \cdot 10^{12} \text{ пФ} \approx 50.66 \text{ пФ}$$ **Ответ: $C \approx 50.66$ пФ** 5. Чтобы получить заданный период $T$ при известной ёмкости $C$, нужно найти индуктивность $L$. Используем формулу Томсона: $$T = 2\pi\sqrt{LC}$$ Отсюда выразим $L$: $$T^2 = 4\pi^2LC \Rightarrow L = \frac{T^2}{4\pi^2C}$$ Дано: $C = 2 \text{ мкФ} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$, $T = 10^{-3} \text{ с}$. $$L = \frac{(10^{-3} \text{ с})^2}{4\pi^2 \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{10^{-6}}{8\pi^2 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{8\pi^2} \approx \frac{1}{8 \cdot 9.87} \approx \frac{1}{78.96} \approx 0.01266 \text{ Гн}$$ Переведём в миллигенри (мГн): $1 \text{ Гн} = 1000 \text{ мГн}$. $$L \approx 0.01266 \cdot 1000 \text{ мГн} \approx 12.66 \text{ мГн}$$ **Ответ: $L \approx 12.66$ мГн**