1. Какое количество теплоты выделится в контуре к тому времени, когда колебания в нем полностью затухнут, если сообщен заряд q = 10^-5 Кл, емкость конденсатора C = 0,01 мкФ.

1. Когда колебания в контуре полностью затухают, вся энергия, которая изначально была запасена в электрическом поле конденсатора, превращается в тепло. Количество выделившегося тепла равно начальной энергии конденсатора. Начальная энергия конденсатора определяется по формуле: $$W = \frac{q^2}{2C}$$ где $q$ — заряд, $C$ — ёмкость. Дано: $q = 10^{-5}$ Кл $C = 0,01$ мкФ $= 0,01 \cdot 10^{-6}$ Ф $= 10^{-8}$ Ф Подставляем значения: $$W = \frac{(10^{-5})^2}{2 \cdot 10^{-8}} = \frac{10^{-10}}{2 \cdot 10^{-8}} = \frac{1}{2} \cdot 10^{-2} = 0,5 \cdot 10^{-2} = 0,005$$ Дж **Ответ: 0,005 Дж** 2. Период свободных колебаний в контуре (формула Томсона) определяется по формуле: $$T = 2\pi\sqrt{LC}$$ где $L$ — индуктивность, $C$ — ёмкость. Дано: $L = 0,003$ Гн $= 3 \cdot 10^{-3}$ Гн $C = 13,4$ пФ $= 13,4 \cdot 10^{-12}$ Ф Подставляем значения: $$T = 2\pi\sqrt{3 \cdot 10^{-3} \cdot 13,4 \cdot 10^{-12}} = 2\pi\sqrt{40,2 \cdot 10^{-15}}$$ Можно переписать $40,2 \cdot 10^{-15}$ как $4,02 \cdot 10^{-14}$ для удобства извлечения корня: $$T = 2\pi\sqrt{4,02 \cdot 10^{-14}} = 2\pi \cdot \sqrt{4,02} \cdot 10^{-7}$$ Приближенно $\sqrt{4,02} \approx 2,005$. И $\pi \approx 3,14159$. $$T \approx 2 \cdot 3,14159 \cdot 2,005 \cdot 10^{-7} \approx 12,59 \cdot 10^{-7} \approx 1,259 \cdot 10^{-6}$$ с **Ответ: $1,259 \cdot 10^{-6}$ с** 3. Частота колебаний $f$ в контуре связана с индуктивностью $L$ и ёмкостью $C$ формулой: $$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$ Чтобы найти, в каких пределах должна изменяться индуктивность, выразим $L$ из этой формулы: $$f^2 = \frac{1}{4\pi^2 LC}$$ $$L = \frac{1}{4\pi^2 f^2 C}$$ Дано: Ёмкость конденсатора $C = 10$ мкФ $= 10 \cdot 10^{-6}$ Ф $= 10^{-5}$ Ф Частота изменяется от $f_1 = 400$ Гц до $f_2 = 500$ Гц. Найдём $L_1$ при $f_1 = 400$ Гц: $$L_1 = \frac{1}{4\pi^2 (400)^2 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 160000 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{640000\pi^2 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{6,4\pi^2}$$ При $\pi^2 \approx 9,8696$: $$L_1 \approx \frac{1}{6,4 \cdot 9,8696} \approx \frac{1}{63,16544} \approx 0,01583$$ Гн Найдём $L_2$ при $f_2 = 500$ Гц: $$L_2 = \frac{1}{4\pi^2 (500)^2 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 250000 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{1000000\pi^2 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{10\pi^2}$$ При $\pi^2 \approx 9,8696$: $$L_2 \approx \frac{1}{10 \cdot 9,8696} \approx \frac{1}{98,696} \approx 0,01013$$ Гн Поскольку частота и индуктивность обратно пропорциональны, при увеличении частоты индуктивность уменьшается. Значит, индуктивность должна изменяться от $L_1$ до $L_2$. **Ответ: Индуктивность должна изменяться в пределах от 0,01013 Гн до 0,01583 Гн.** 4. Амплитуда ЭДС, наводимой в рамке, вращающейся в однородном магнитном поле, определяется по формуле: $$\mathcal{E}_m = B S \omega$$ где $B$ — магнитная индукция, $S$ — площадь рамки, $\omega$ — угловая частота. Угловая частота $\omega$ связана с частотой вращения $f$ по формуле: $$\omega = 2\pi f$$ Дано: Частота вращения $f = 50$ об/с (Гц) Площадь рамки $S = 100$ см$^2 = 100 \cdot 10^{-4}$ м$^2 = 10^{-2}$ м$^2$ Магнитная индукция $B = 0,2$ Тл Сначала найдём угловую частоту: $$\omega = 2\pi \cdot 50 = 100\pi$$ рад/с Теперь найдём амплитуду ЭДС: $$\mathcal{E}_m = 0,2 \cdot 10^{-2} \cdot 100\pi = 0,2 \cdot 100 \cdot 10^{-2} \cdot \pi = 20 \cdot 10^{-2} \cdot \pi = 0,2 \pi$$ При $\pi \approx 3,14159$: $$\mathcal{E}_m \approx 0,2 \cdot 3,14159 \approx 0,6283$$ В **Ответ: 0,6283 В**