Груз массой 450 г совершает колебания на пружине жесткостью 0,5 кН/м. Найти период, собственную и циклическую частоту механических колебаний.

1. Груз массой 450 г совершает колебания на пружине жесткостью 0,5 кН/м. Найти период, собственную и циклическую частоту механических колебаний. Дано: $m = 450 \text{ г} = 0,45 \text{ кг}$ $k = 0,5 \text{ кН/м} = 500 \text{ Н/м}$ Найти: $T$, $\nu_0$, $\omega_0$ Решение: Период механических колебаний пружинного маятника определяется формулой: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ Подставим значения: $$T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{0,45 \text{ кг}}{500 \text{ Н/м}}} = 6,28 \cdot \sqrt{0,0009} = 6,28 \cdot 0,03 = 0,1884 \text{ с}$$ Собственная частота колебаний: $$\nu_0 = \frac{1}{T}$$ $$\nu_0 = \frac{1}{0,1884 \text{ с}} \approx 5,308 \text{ Гц}$$ Циклическая частота колебаний: $$\omega_0 = 2\pi\nu_0$$ $$\omega_0 = 2 \cdot 3,14 \cdot 5,308 \text{ Гц} \approx 33,34 \text{ рад/с}$$ **Ответ:** **Период: $T \approx 0,1884 \text{ с}$** **Собственная частота: $\nu_0 \approx 5,308 \text{ Гц}$** **Циклическая частота: $\omega_0 \approx 33,34 \text{ рад/с}$** 2. В колебательном контуре зависимость силы тока от времени задана уравнением $i=0,5\sin(10^5 \pi t)$. Найти амплитуду силы тока, период, собственную и циклическую частоту электромагнитных колебаний. Дано: $i = 0,5\sin(10^5 \pi t)$ Найти: $I_m$, $T$, $\nu_0$, $\omega_0$ Решение: Уравнение колебаний силы тока в общем виде: $i = I_m \sin(\omega_0 t)$ Сравнивая данное уравнение с общим видом, получаем: Амплитуда силы тока: $I_m = 0,5 \text{ А}$ Циклическая частота: $\omega_0 = 10^5 \pi \text{ рад/с}$ Период электромагнитных колебаний: $$T = \frac{2\pi}{\omega_0}$$ $$T = \frac{2\pi}{10^5 \pi} = \frac{2}{10^5} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ с}$$ Собственная частота колебаний: $$\nu_0 = \frac{1}{T}$$ $$\nu_0 = \frac{1}{2 \cdot 10^{-5} \text{ с}} = 0,5 \cdot 10^5 = 50000 \text{ Гц} = 50 \text{ кГц}$$ **Ответ:** **Амплитуда силы тока: $I_m = 0,5 \text{ А}$** **Период: $T = 2 \cdot 10^{-5} \text{ с}$** **Собственная частота: $\nu_0 = 50000 \text{ Гц}$** **Циклическая частота: $\omega_0 = 10^5 \pi \text{ рад/с}$** 3. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 4 мкФ и катушки индуктивностью 700 мГн. Найти период, собственную и циклическую частоту электромагнитных колебаний. Дано: $C = 4 \text{ мкФ} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$ $L = 700 \text{ мГн} = 0,7 \text{ Гн}$ Найти: $T$, $\nu_0$, $\omega_0$ Решение: Период электромагнитных колебаний в контуре (формула Томсона): $$T = 2\pi\sqrt{LC}$$ Подставим значения: $$T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{0,7 \text{ Гн} \cdot 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = 6,28 \cdot \sqrt{2,8 \cdot 10^{-6}} = 6,28 \cdot 1,673 \cdot 10^{-3} \approx 0,0105 \text{ с}$$ Собственная частота колебаний: $$\nu_0 = \frac{1}{T}$$ $$\nu_0 = \frac{1}{0,0105 \text{ с}} \approx 95,24 \text{ Гц}$$ Циклическая частота колебаний: $$\omega_0 = 2\pi\nu_0$$ $$\omega_0 = 2 \cdot 3,14 \cdot 95,24 \text{ Гц} \approx 598,3 \text{ рад/с}$$ **Ответ:** **Период: $T \approx 0,0105 \text{ с}$** **Собственная частота: $\nu_0 \approx 95,24 \text{ Гц}$** **Циклическая частота: $\omega_0 \approx 598,3 \text{ рад/с}$** 4. Индуктивность колебательного контура равна 25 мГн, емкость 400 мкФ. Конденсатор зарядили до максимального напряжения 0,2 кВ. Какой наибольший ток возникает в контуре в процессе электромагнитных колебаний? Чему равны действующие значения силы тока и напряжения? Дано: $L = 25 \text{ мГн} = 0,025 \text{ Гн}$ $C = 400 \text{ мкФ} = 400 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 4 \cdot 10^{-4} \text{ Ф}$ $U_m = 0,2 \text{ кВ} = 200 \text{ В}$ Найти: $I_m$, $I_{действ}$, $U_{действ}$ Решение: Наибольший ток (амплитуда тока) в контуре можно найти из закона сохранения энергии. В момент максимального напряжения вся энергия сосредоточена в конденсаторе, а в момент максимального тока — в катушке. Энергия конденсатора: $W_C = \frac{C U_m^2}{2}$ Энергия катушки: $W_L = \frac{L I_m^2}{2}$ Приравниваем энергии: $$\frac{C U_m^2}{2} = \frac{L I_m^2}{2}$$ $$I_m^2 = \frac{C U_m^2}{L}$$ $$I_m = U_m \sqrt{\frac{C}{L}}$$ Подставим значения: $$I_m = 200 \text{ В} \cdot \sqrt{\frac{4 \cdot 10^{-4} \text{ Ф}}{0,025 \text{ Гн}}} = 200 \cdot \sqrt{0,016} = 200 \cdot 0,1265 \approx 25,3 \text{ А}$$ Действующее значение силы тока: $$I_{действ} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$$ $$I_{действ} = \frac{25,3 \text{ А}}{1,414} \approx 17,89 \text{ А}$$ Действующее значение напряжения: $$U_{действ} = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$$ $$U_{действ} = \frac{200 \text{ В}}{1,414} \approx 141,4 \text{ В}$$ **Ответ:** **Наибольший ток: $I_m \approx 25,3 \text{ А}$** **Действующее значение силы тока: $I_{действ} \approx 17,89 \text{ А}$** **Действующее значение напряжения: $U_{действ} \approx 141,4 \text{ В}$** 5. Какова длина математического маятника, совершающего 60 колебаний за 2 мин? Допущение: Маятник находится на Земле, где ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$. Дано: $N = 60 \text{ колебаний}$ $t = 2 \text{ мин} = 120 \text{ с}$ $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ Найти: $l$ Решение: Сначала найдем период колебаний маятника: $$T = \frac{t}{N}$$ $$T = \frac{120 \text{ с}}{60} = 2 \text{ с}$$ Формула периода математического маятника: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$ Возведем обе части в квадрат: $$T^2 = 4\pi^2\frac{l}{g}$$ Выразим длину $l$: $$l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$$ Подставим значения: $$l = \frac{(2 \text{ с})^2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{4 \cdot (3,14)^2} = \frac{4 \cdot 9,8}{4 \cdot 9,8596} = \frac{39,2}{39,4384} \approx 0,9939 \text{ м}$$ **Ответ:** **Длина математического маятника: $l \approx 0,99 \text{ м}$** 6. Какой индуктивности катушку надо включить в колебательный контур, чтобы при емкости конденсатора 8 мкФ получить частоту 500 Гц? Дано: $C = 8 \text{ мкФ} = 8 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$ $\nu = 500 \text{ Гц}$ Найти: $L$ Решение: Формула для частоты электромагнитных колебаний в контуре: $$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$ Выразим $LC$: $$2\pi\sqrt{LC} = \frac{1}{\nu}$$ $$\sqrt{LC} = \frac{1}{2\pi\nu}$$ Возведем обе части в квадрат: $$LC = \left(\frac{1}{2\pi\nu}\right)^2$$ Выразим $L$: $$L = \frac{1}{(2\pi\nu)^2 C}$$ Подставим значения: $$L = \frac{1}{(2 \cdot 3,14 \cdot 500 \text{ Гц})^2 \cdot 8 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{(3140)^2 \cdot 8 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{9859600 \cdot 8 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{78,8768} \approx 0,01267 \text{ Гн}$$ $L \approx 12,67 \text{ мГн}$ **Ответ:** **Индуктивность катушки: $L \approx 0,01267 \text{ Гн}$ или $L \approx 12,67 \text{ мГн}$**