1. Подбрасывают два игральных кубика. Постройте дерево случайного эксперимента и найдите вероятность того, что:

1. Подбрасывают два игральных кубика. Постройте дерево случайного эксперимента и найдите вероятность того, что: **Дерево случайного эксперимента:** При подбрасывании двух игральных кубиков каждый кубик может выпасть от 1 до 6 очков. Всего возможных исходов $6 \times 6 = 36$. Каждому исходу соответствует пара чисел (результат первого кубика, результат второго кубика). ``` (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) ``` а) сумма выпавших очков равна 7 События, где сумма очков равна 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Всего 6 благоприятных исходов. $$P(\text{сумма равна 7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$ **Ответ: $\frac{1}{6}$** б) сумма выпавших очков четная События, где сумма очков четная: - Сумма 2: (1,1) (1 исход) - Сумма 4: (1,3), (2,2), (3,1) (3 исхода) - Сумма 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) (5 исходов) - Сумма 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) (5 исходов) - Сумма 10: (4,6), (5,5), (6,4) (3 исхода) - Сумма 12: (6,6) (1 исход) Всего благоприятных исходов: $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$. $$P(\text{сумма четная}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$$ **Ответ: $\frac{1}{2}$** в) на обоих кубиках выпало одинаковое число очков. События, где на обоих кубиках выпало одинаковое число очков: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Всего 6 благоприятных исходов. $$P(\text{одинаковое число очков}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$ **Ответ: $\frac{1}{6}$** 2. В коробке 4 красных и 3 зеленых карандаша. Последовательно извлекают два карандаша без возвращения. Постройте дерево вероятностей и найдите вероятность того, что: Всего карандашей: $4 + 3 = 7$. **Дерево вероятностей:** * **Первый карандаш:** * Красный (К): $P(К_1) = \frac{4}{7}$ * Зеленый (З): $P(З_1) = \frac{3}{7}$ * **Второй карандаш (после извлечения первого):** * Если первый был Красный ($К_1$): * Красный (К): $P(К_2|К_1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ * Зеленый (З): $P(З_2|К_1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ * Если первый был Зеленый ($З_1$): * Красный (К): $P(К_2|З_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ * Зеленый (З): $P(З_2|З_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ а) оба карандаша красные $$P(К_1 \text{ и } К_2) = P(К_1) \times P(К_2|К_1) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$$ **Ответ: $\frac{2}{7}$** б) карандаши разного цвета Это означает (Красный, Зеленый) или (Зеленый, Красный). $$P(К_1 \text{ и } З_2) = P(К_1) \times P(З_2|К_1) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{7}$$ $$P(З_1 \text{ и } К_2) = P(З_1) \times P(К_2|З_1) = \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{3}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{7}$$ $$P(\text{разного цвета}) = P(К_1 \text{ и } З_2) + P(З_1 \text{ и } К_2) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{4}{7}$$ **Ответ: $\frac{4}{7}$** в) оба карандаша зеленые. $$P(З_1 \text{ и } З_2) = P(З_1) \times P(З_2|З_1) = \frac{3}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{3}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{7}$$ **Ответ: $\frac{1}{7}$** 3. При включении прибора вероятность его исправной работы 0,9. Если прибор исправен, то вероятность получения точного результата 0,8. Постройте дерево вероятностей и найдите вероятность того, что: **Обозначения:** * И – прибор исправен, $P(И) = 0,9$ * Н – прибор неисправен, $P(Н) = 1 - P(И) = 1 - 0,9 = 0,1$ * ТР – точный результат, $P(ТР|И) = 0,8$ * НР – неточный результат при исправном приборе, $P(НР|И) = 1 - P(ТР|И) = 1 - 0,8 = 0,2$ * ТР|Н – точный результат при неисправном приборе. **Допущение:** Считаем, что неисправный прибор всегда даёт неточный результат, то есть $P(ТР|Н) = 0$. Тогда $P(НР|Н) = 1$. **Дерево вероятностей:** * **Исправность прибора:** * Исправен (И): $P(И) = 0,9$ * Неисправен (Н): $P(Н) = 0,1$ * **Результат (в зависимости от исправности):** * Если Исправен (И): * Точный результат (ТР): $P(ТР|И) = 0,8 \Rightarrow P(И \cap ТР) = 0,9 \times 0,8 = 0,72$ * Неточный результат (НР): $P(НР|И) = 0,2 \Rightarrow P(И \cap НР) = 0,9 \times 0,2 = 0,18$ * Если Неисправен (Н): * Точный результат (ТР): $P(ТР|Н) = 0 \Rightarrow P(Н \cap ТР) = 0,1 \times 0 = 0$ * Неточный результат (НР): $P(НР|Н) = 1 \Rightarrow P(Н \cap НР) = 0,1 \times 1 = 0,1$ а) прибор исправен и получен точный результат $$P(И \cap ТР) = 0,9 \times 0,8 = 0,72$$ **Ответ: 0,72** б) получен точный результат Точный результат может быть получен, если прибор исправен И точный результат, ИЛИ прибор неисправен И точный результат. $$P(ТР) = P(И \cap ТР) + P(Н \cap ТР) = 0,72 + 0 = 0,72$$ **Ответ: 0,72** в) прибор неисправен или получен неточный результат. Это $P(Н \cup НР)$. Используем формулу для объединения событий: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. $P(Н) = 0,1$ $P(НР) = P(И \cap НР) + P(Н \cap НР) = 0,18 + 0,1 = 0,28$ $P(Н \cap НР) = 0,1$ $$P(Н \cup НР) = P(Н) + P(НР) - P(Н \cap НР) = 0,1 + 0,28 - 0,1 = 0,28$$ Или, можно найти вероятность противоположного события: не (неисправен И неточный результат) = (исправен И точный результат) $P(Н \cup НР) = 1 - P(\text{прибор исправен И получен точный результат}) = 1 - P(И \cap ТР) = 1 - 0,72 = 0,28$ **Ответ: 0,28** 4. В магазине две кассы. К первой кассе очередь из 2 человек, ко второй — из 3 человек. Покупатель случайным образом выбирает очередь. Постройте дерево вероятностей и найдите вероятность того, что: **Обозначения:** * К1 – выбор первой кассы * К2 – выбор второй кассы * Очередь в К1: 2 человека (покупатель будет 3-м) * Очередь в К2: 3 человека (покупатель будет 4-м) Вероятность выбора каждой кассы: $P(К1) = 0,5$, $P(К2) = 0,5$. **Дерево вероятностей:** * **Выбор кассы:** * Касса 1 (К1): $P(К1) = 0,5$ * Касса 2 (К2): $P(К2) = 0,5$ * **Место в очереди:** * Если Касса 1: Покупатель 3-й. * Если Касса 2: Покупатель 4-й. а) покупатель выберет более короткую очередь Более короткая очередь — это очередь с 2 людьми (Касса 1). $$P(\text{выберет более короткую очередь}) = P(К1) = 0,5$$ **Ответ: 0,5** б) покупатель будет не более чем третьим в очереди; Это означает, что покупатель будет 1-м, 2-м или 3-м. Если он выбирает Кассу 1 (2 человека в очереди), то он будет 3-м. Если он выбирает Кассу 2 (3 человека в очереди), он будет 4-м. Следовательно, условие выполняется только при выборе Кассы 1. $$P(\text{не более чем третьим}) = P(К1) = 0,5$$ **Ответ: 0,5** в) покупатель окажется последним в очереди. * Если Касса 1 (2 человека), покупатель 3-й, то он последний. * Если Касса 2 (3 человека), покупатель 4-й, то он последний. В обоих случаях, при выборе любой из касс, покупатель окажется последним, так как он добавляется в конец очереди. $$P(\text{окажется последним}) = P(К1) + P(К2) = 0,5 + 0,5 = 1$$ **Ответ: 1** 5. Студент отвечает на два вопроса. Если он правильно отвечает на первый вопрос (вероятность 0,7), то получает легкий второй вопрос, если неправильно — сложный. Вероятность правильного ответа на легкий вопрос 0,9, на сложный — 0,4. Постройте дерево вероятностей и найдите вероятность того, что: **Обозначения:** * П1 – правильный ответ на 1-й вопрос, $P(П1) = 0,7$ * Н1 – неправильный ответ на 1-й вопрос, $P(Н1) = 1 - 0,7 = 0,3$ * Л2 – легкий 2-й вопрос * С2 – сложный 2-й вопрос * П2|Л2 – правильный ответ на легкий 2-й вопрос, $P(П2|Л2) = 0,9$ * Н2|Л2 – неправильный ответ на легкий 2-й вопрос, $P(Н2|Л2) = 1 - 0,9 = 0,1$ * П2|С2 – правильный ответ на сложный 2-й вопрос, $P(П2|С2) = 0,4$ * Н2|С2 – неправильный ответ на сложный 2-й вопрос, $P(Н2|С2) = 1 - 0,4 = 0,6$ **Дерево вероятностей:** * **1-й вопрос:** * Правильно (П1): $P(П1) = 0,7$ * Неправильно (Н1): $P(Н1) = 0,3$ * **2-й вопрос (в зависимости от ответа на 1-й):** * Если П1 (легкий 2-й вопрос): * Правильно (П2|Л2): $P(П2|Л2) = 0,9 \Rightarrow P(П1 \cap П2) = 0,7 \times 0,9 = 0,63$ * Неправильно (Н2|Л2): $P(Н2|Л2) = 0,1 \Rightarrow P(П1 \cap Н2) = 0,7 \times 0,1 = 0,07$ * Если Н1 (сложный 2-й вопрос): * Правильно (П2|С2): $P(П2|С2) = 0,4 \Rightarrow P(Н1 \cap П2) = 0,3 \times 0,4 = 0,12$ * Неправильно (Н2|С2): $P(Н2|С2) = 0,6 \Rightarrow P(Н1 \cap Н2) = 0,3 \times 0,6 = 0,18$ а) студент ответит правильно на оба вопроса; $$P(П1 \cap П2) = 0,7 \times 0,9 = 0,63$$ **Ответ: 0,63** б) студент ответит правильно хотя бы на один вопрос; Это означает, что не будет случая, когда он ответит неправильно на оба вопроса. То есть $1 - P(Н1 \cap Н2)$. $$P(\text{хотя бы один правильно}) = 1 - P(Н1 \cap Н2) = 1 - 0,18 = 0,82$$ Или: $P(П1 \cap П2) + P(П1 \cap Н2) + P(Н1 \cap П2) = 0,63 + 0,07 + 0,12 = 0,82$ **Ответ: 0,82** в) студент получит сложный второй вопрос и ответит на него неправильно. Это соответствует событию $Н1 \cap Н2$ (неправильный ответ на первый вопрос, что ведет к сложному второму, и неправильный ответ на сложный второй). $$P(Н1 \cap Н2) = 0,3 \times 0,6 = 0,18$$ **Ответ: 0,18**