Объясни, как найти sin α и tg α, если cos α = 2/3

Привет! Давай разберёмся с этими задачками по тригонометрии. Нам нужно найти разные значения синуса, косинуса и тангенса, когда известны другие значения. a) Если $\cos \alpha = \frac{2}{3}$, то чтобы найти $\sin \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$, можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством и определением тангенса: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$ $$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$$ Тангенс находится как отношение синуса к косинусу: $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$$ б) Если $\sin \alpha = \frac{1}{2}$: $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ $$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{2}}{\pm\frac{\sqrt{3}}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$$ в) Если $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$ $$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$$ $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\pm\frac{1}{2}} = \pm\sqrt{3}$$ г) Если $\cos \alpha = \frac{2}{3}$: (совпадает с пунктом а)) $$\sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$$ $$\operatorname{tg} \alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$$ д) Если $\sin \alpha = \frac{1}{4}$: $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$ $$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$$ $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{4}}{\pm\frac{\sqrt{15}}{4}} = \pm\frac{1}{\sqrt{15}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{15}$$ е) Если $\sin \alpha = 0.4 = \frac{2}{5}$: $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$$ $$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{21}{25}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{5}$$ $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2}{5}}{\pm\frac{\sqrt{21}}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{21}} = \pm\frac{2\sqrt{21}}{21}$$ **Важно:** Знаки $\pm$ появляются, потому что мы не знаем, в какой четверти находится угол $\alpha$. В зависимости от четверти, синус и косинус могут быть как положительными, так и отрицательными.