593 Найдите: а) sin α и tg α, если cos α = 1/2; б) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; г) cos α и tg α, если sin α = 1/4.

**Допущение: рассматриваются значения тригонометрических функций для острых углов ($0 < \alpha < 90^\circ$), так как тема в учебнике — «Подобные треугольники».** Для решения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ Откуда: $$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$$ $$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$$ А также формулой тангенса: $$\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$ а) Дано: $\cos \alpha = \frac{1}{2}$. 1. $\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 2. $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$. **Ответ: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\text{tg } \alpha = \sqrt{3}$.** б) Дано: $\cos \alpha = \frac{2}{3}$. 1. $\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. 2. $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. **Ответ: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$.** в) Дано: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 1. $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$. 2. $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$. **Ответ: $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\text{tg } \alpha = \sqrt{3}$.** г) Дано: $\sin \alpha = \frac{1}{4}$. 1. $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$. 2. $\text{tg } \alpha = \frac{1/4}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$. **Ответ: $\cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$, $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{15}}{15}$.**