593 Найдите: а) sin α и tg α, если cos α = 1/2; б) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; г) cos α и tg α, если sin α = 1/4.

Для решения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулой $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Так как в условии не указана четверть, для синуса и косинуса возможны два значения (положительное и отрицательное). а) $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ $\sin \alpha = \pm\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\text{tg } \alpha = \frac{\pm\sqrt{3}/2}{1/2} = \pm\sqrt{3}$ б) $\cos \alpha = \frac{2}{3}$ $\sin \alpha = \pm\sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$ $\text{tg } \alpha = \frac{\pm\sqrt{5}/3}{2/3} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$ в) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos \alpha = \pm\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$ $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{\pm 1/2} = \pm\sqrt{3}$ г) $\sin \alpha = \frac{1}{4}$ $\cos \alpha = \pm\sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$ $\text{tg } \alpha = \frac{1/4}{\pm\sqrt{15}/4} = \pm\frac{1}{\sqrt{15}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{15}$ **Ответ:** а) $\pm\frac{\sqrt{3}}{2}, \pm\sqrt{3}$; б) $\pm\frac{\sqrt{5}}{3}, \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$; в) $\pm\frac{1}{2}, \pm\sqrt{3}$; г) $\pm\frac{\sqrt{15}}{4}, \pm\frac{\sqrt{15}}{15}$.