Найдите: а) sin α и tg α, если cos α = 1/2; б) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; г) cos α и tg α, если sin α = 1/4

**Ответ:** а) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\text{tg } \alpha = \sqrt{3}$ б) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$ в) $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\text{tg } \alpha = \sqrt{3}$ г) $\cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$, $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{15}}{15}$ **Решение:** Для решения используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и определение тангенса $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Будем считать, что угол $\alpha$ острый (так как это обычно предполагается в подобных задачах для 8-9 классов, если не указана четверть). а) Дано $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ 1. $\sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 2. $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$ б) Дано $\cos \alpha = \frac{2}{3}$ 1. $\sin^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ 2. $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ в) Дано $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 1. $\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2}$ 2. $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$ г) Дано $\sin \alpha = \frac{1}{4}$ 1. $\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$ 2. $\text{tg } \alpha = \frac{1/4}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$