593 Найдите: а) sin α и tg α, если cos α = 1/2; б) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; г) cos α и tg α, если sin α = 1/4.

Ответ: а) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\text{tg } \alpha = \sqrt{3}$ б) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$ в) $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\text{tg } \alpha = \sqrt{3}$ г) $\cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$, $\text{tg } \alpha = \frac{1}{\sqrt{15}}$ **Решение:** Для решения используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и определение тангенса: $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Поскольку углы в таких задачах обычно рассматриваются в первой четверти (острые), берем положительные значения корней. а) Дано: $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ 1. $\sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 2. $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$ б) Дано: $\cos \alpha = \frac{2}{3}$ 1. $\sin^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ 2. $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ в) Дано: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 1. $\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2}$ 2. $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$ г) Дано: $\sin \alpha = \frac{1}{4}$ 1. $\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$ 2. $\text{tg } \alpha = \frac{1/4}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}}$ (или $\frac{\sqrt{15}}{15}$)