Найдите: а) sin α и tg α, если cos α = 1/2; б) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; г) cos α и tg α, если sin α = 1/4.

Для решения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулой $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Так как в условии не указана четверть, для углов в геометрии (от $0^\circ$ до $180^\circ$) синус всегда положителен, а косинус и тангенс могут быть отрицательными, но в рамках темы «Подобные треугольники» обычно рассматриваются острые углы ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), где все функции положительны. а) Дано: $\cos \alpha = \frac{1}{2}$. 1. $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 2. $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{1}{2} = \sqrt{3}$. **Ответ: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \text{tg } \alpha = \sqrt{3}$.** б) Дано: $\cos \alpha = \frac{2}{3}$. 1. $\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. 2. $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} : \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. **Ответ: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}, \text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$.** в) Дано: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 1. $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$. 2. $\text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} : \frac{1}{2} = \sqrt{3}$. **Ответ: $\cos \alpha = \frac{1}{2}, \text{tg } \alpha = \sqrt{3}$.** г) Дано: $\sin \alpha = \frac{1}{4}$. 1. $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$. 2. $\text{tg } \alpha = \frac{1}{4} : \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$. **Ответ: $\cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}, \text{tg } \alpha = \frac{\sqrt{15}}{15}$.**