593 Найдите: а) sin α и tg α, если cos α = 1/2; б) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; г) cos α и tg α, если sin α = 1/4.

**Допущение:** Угол $\alpha$ является острым ($0 < \alpha < 90^\circ$), так как в курсе геометрии 8 класса (тема «Подобные треугольники») тригонометрические функции рассматриваются для острых углов прямоугольного треугольника. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, откуда $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$ и $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$. Формула тангенса: $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. **Ответ:** а) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\text{tg} \alpha = \sqrt{3}$ б) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\text{tg} \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$ в) $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\text{tg} \alpha = \sqrt{3}$ г) $\cos \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$, $\text{tg} \alpha = \frac{\sqrt{15}}{15}$ **Решение:** **а) Дано $\cos \alpha = \frac{1}{2}$** 1. $\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 2. $\text{tg} \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$ **б) Дано $\cos \alpha = \frac{2}{3}$** 1. $\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ 2. $\text{tg} \alpha = \frac{\sqrt{5}/3}{2/3} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ **в) Дано $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$** 1. $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ 2. $\text{tg} \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$ **г) Дано $\sin \alpha = \frac{1}{4}$** 1. $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ 2. $\text{tg} \alpha = \frac{1/4}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$