Реши уравнение √2sin(3π/2-x)cos(3π/2+x)=cosx и найди все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-4π; −3π].

Привет! Давай решим это уравнение вместе. 1) Решим уравнение $\sqrt{2} \sin(\frac{3\pi}{2} - x) \cdot \cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \cos x$. Используем формулы приведения: $\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos x$ и $\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x$. Тогда уравнение примет вид: $$\sqrt{2} (-\cos x) \sin x = \cos x$$ $$\sqrt{2} (-\cos x) \sin x - \cos x = 0$$ $$-\cos x (\sqrt{2} \sin x + 1) = 0$$ Значит, либо $\cos x = 0$, либо $\sqrt{2} \sin x + 1 = 0$. * Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ - целое число. * Если $\sqrt{2} \sin x + 1 = 0$, то $\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это значит, что $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k$ - целое число. 2) Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку $[-4\pi; -3\pi]$. * Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$: * Если $n = -5$, то $x = \frac{\pi}{2} - 5\pi = -\frac{9\pi}{2} = -4.5\pi$. Подходит. * Если $n = -4$, то $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2} = -3.5\pi$. Подходит. * Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: * Если $k = -2$, то $x = -\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{17\pi}{4} = -4.25\pi$. Подходит. * Для $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$: * Если $k = -2$, то $x = \frac{5\pi}{4} - 4\pi = -\frac{11\pi}{4} = -2.75\pi$. Не подходит. * Если $k = -1$, то $x = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4} $. Не подходит. * Если $k = -3$, то $x = \frac{5\pi}{4} - 6\pi = -\frac{19\pi}{4} = -4.75\pi $. Подходит. **Ответ:** Корни уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $n, k$ - целые числа. Корни, принадлежащие промежутку $[-4\pi; -3\pi]$: $-4.5\pi, -3.5\pi, -4.25\pi, -4.75\pi$.