Исследуйте функцию и постройте ее график (300-302). а) f(x)=1/2x^2-1/5x^5, б) f(x)=4x^2-x^4, в) f(x)=1/5x^5-1/3x^3, г) f(x)=5x^3-3x^5.

Привет! Давай разберем эти функции по твоему алгоритму. Это классическое исследование функции с помощью производной. ### а) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5$ 1. **ОДЗ:** $x \in \mathbb{R}$. 2. **Производная:** $f'(x) = x - x^4 = x(1-x^3) = x(1-x)(1+x+x^2)$. 3. **Критические точки:** $f'(x) = 0 \implies x=0, x=1$. 4. **Знаки производной:** - $(-\infty; 0): f'(x) < 0$ (функция убывает) - $(0; 1): f'(x) > 0$ (функция возрастает) - $(1; +\infty): f'(x) < 0$ (функция убывает) 5. **Экстремумы:** $x_{min}=0, y=0$; $x_{max}=1, y=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=0.3$. 6. **Пересечение с осями:** - С осями: $(0; 0)$ — единственная точка. ### б) $f(x) = 4x^2 - x^4$ 1. **ОДЗ:** $x \in \mathbb{R}$. 2. **Производная:** $f'(x) = 8x - 4x^3 = 4x(2-x^2) = 4x(\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}+x)$. 3. **Критические точки:** $x=0, x=\sqrt{2}, x=-\sqrt{2}$. 4. **Знаки производной:** - $(-\infty; -\sqrt{2}): f'(x) > 0$ (возрастает) - $(-\sqrt{2}; 0): f'(x) < 0$ (убывает) - $(0; \sqrt{2}): f'(x) > 0$ (возрастает) - $(\sqrt{2}; +\infty): f'(x) < 0$ (убывает) 5. **Экстремумы:** $x_{max}=\pm\sqrt{2}, y=4(2)-4=4$; $x_{min}=0, y=0$. 6. **Пересечение с осями:** $4x^2 - x^4 = 0 \implies x^2(4-x^2)=0 \implies x=0, x=\pm 2$. Точки $(0;0), (2;0), (-2;0)$. ### в) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3$ 1. **ОДЗ:** $x \in \mathbb{R}$. 2. **Производная:** $f'(x) = x^4 - x^2 = x^2(x^2-1) = x^2(x-1)(x+1)$. 3. **Критические точки:** $x=0, x=1, x=-1$. 4. **Знаки производной:** - $(-\infty; -1): f'(x) > 0$ (возрастает) - $(-1; 0): f'(x) < 0$ (убывает) - $(0; 1): f'(x) < 0$ (убывает) - $(1; +\infty): f'(x) > 0$ (возрастает) 5. **Экстремумы:** $x_{max}=-1, y=-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{2}{15} \approx 0.13$; $x_{min}=1, y=\frac{1}{5}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{15} \approx -0.13$; $x=0$ — точка перегиба. 6. **Пересечение с осями:** $x^3(\frac{1}{5}x^2-\frac{1}{3})=0 \implies x=0, x=\pm\sqrt{5/3} \approx \pm 1.29$. ### г) $f(x) = 5x^3 - 3x^5$ 1. **ОДЗ:** $x \in \mathbb{R}$. 2. **Производная:** $f'(x) = 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1-x^2) = 15x^2(1-x)(1+x)$. 3. **Критические точки:** $x=0, x=1, x=-1$. 4. **Знаки производной:** - $(-\infty; -1): f'(x) < 0$ (убывает) - $(-1; 0): f'(x) > 0$ (возрастает) - $(0; 1): f'(x) > 0$ (возрастает) - $(1; +\infty): f'(x) < 0$ (убывает) 5. **Экстремумы:** $x_{min}=-1, y=3-5=-2$; $x_{max}=1, y=5-3=2$. 6. **Пересечение с осями:** $x^3(5-3x^2)=0 \implies x=0, x=\pm\sqrt{5/3} \approx \pm 1.29$. :::div .chart-container @chart-1::: :::div .chart-container @chart-2::: :::div .chart-container @chart-3::: :::div .chart-container @chart-4:::