Исследуйте функцию и постройте ее график (300—302)

Давай разберем функции из задания 300 шаг за шагом. ### а) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5$ 1. **ОДЗ:** $x \in (-\infty; +\infty)$. 2. **Производная:** $f'(x) = x - x^4 = x(1-x^3) = x(1-x)(1+x+x^2)$. 3. **Критические точки:** $x=0$, $x=1$. ($1+x+x^2$ корней не имеет). 4. **Знаки производной:** - $(-\infty; 0)$: $f'(x) < 0$ (убывает). - $(0; 1)$: $f'(x) > 0$ (возрастает). - $(1; +\infty)$: $f'(x) < 0$ (убывает). 5. **Экстремумы:** $x_{min} = 0$, $y=0$. $x_{max} = 1$, $y=0.3$. 6. **Оси:** $x=0, y=0$. Точка (0,0). ### б) $f(x) = 4x^2 - x^4$ 1. **ОДЗ:** $x \in (-\infty; +\infty)$. 2. **Производная:** $f'(x) = 8x - 4x^3 = 4x(2-x^2)$. 3. **Критические точки:** $x=0, x=\sqrt{2}, x=-\sqrt{2}$. 4. **Знаки:** - $(-\infty; -\sqrt{2})$: $f'(x) > 0$ (возрастает). - $(-\sqrt{2}; 0)$: $f'(x) < 0$ (убывает). - $(0; \sqrt{2})$: $f'(x) > 0$ (возрастает). - $(\sqrt{2}; +\infty)$: $f'(x) < 0$ (убывает). 5. **Экстремумы:** $f(\pm\sqrt{2}) = 4(2)-4 = 4$ (max), $f(0)=0$ (min). 6. **Оси:** $x=0, y=0$. Корни: $x^2(4-x^2)=0 \rightarrow x=0, x=2, x=-2$. ### в) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3$ 1. **ОДЗ:** $x \in (-\infty; +\infty)$. 2. **Производная:** $f'(x) = x^4 - x^2 = x^2(x-1)(x+1)$. 3. **Критические точки:** $x=0, x=1, x=-1$. 4. **Знаки:** - $(-\infty; -1)$: $f'(x) > 0$ (возрастает). - $(-1; 0)$: $f'(x) < 0$ (убывает). - $(0; 1)$: $f'(x) < 0$ (убывает). - $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$ (возрастает). 5. **Экстремумы:** $f(-1) = -1/5 + 1/3 = 2/15$ (max), $f(1) = 1/5 - 1/3 = -2/15$ (min). 6. **Оси:** $x=0, y=0$. Корни: $x^3(1/5 x^2 - 1/3) = 0 \rightarrow x=0, x=\pm\sqrt{5/3}$. ### г) $f(x) = 5x^3 - 3x^5$ 1. **ОДЗ:** $x \in (-\infty; +\infty)$. 2. **Производная:** $f'(x) = 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1-x)(1+x)$. 3. **Критические точки:** $x=0, x=1, x=-1$. 4. **Знаки:** - $(-\infty; -1)$: $f'(x) < 0$ (убывает). - $(-1; 0)$: $f'(x) > 0$ (возрастает). - $(0; 1)$: $f'(x) > 0$ (возрастает). - $(1; +\infty)$: $f'(x) < 0$ (убывает). 5. **Экстремумы:** $f(-1) = -5+3 = -2$ (min), $f(1) = 5-3 = 2$ (max). 6. **Оси:** $x=0, y=0$. Корни: $x^3(5-3x^2)=0 \rightarrow x=0, x=\pm\sqrt{5/3}$.