80: Периметр равнобедренного треугольника равен 144, а основание — 64. Найдите площадь треугольника.

Привет! Давай вместе решим эту интересную задачу про треугольник. Представь, что у нас есть равнобедренный треугольник. Это значит, что у него две стороны равны. Основание - это та сторона, которая отличается от двух равных. Что нам дано: * Периметр (это сумма длин всех трёх сторон) равен 144. * Основание равно 64. Что нам нужно найти: * Площадь треугольника. Чтобы найти площадь треугольника, нам обычно нужно знать его основание и высоту. Основание у нас есть, а вот высоту нужно будет найти. Давай пойдём по шагам: **Шаг 1: Найдём длину боковых сторон.** В равнобедренном треугольнике две боковые стороны одинаковые. Пусть длина каждой боковой стороны будет $b$. Периметр — это основание плюс две боковые стороны: $$P = \text{основание} + 2 \cdot b$$ Мы знаем $P = 144$ и основание $= 64$: $$144 = 64 + 2b$$ Теперь нужно узнать, чему равны $2b$. Для этого вычтем 64 из 144: $$2b = 144 - 64$$ $$2b = 80$$ Чтобы найти одну боковую сторону $b$, разделим 80 на 2: $$b = \frac{80}{2}$$ $$b = 40$$ Итак, каждая из боковых сторон треугольника равна 40. **Шаг 2: Найдём высоту треугольника.** В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, делит основание пополам (на две равные части). А ещё эта высота образует два прямоугольных треугольника. Давай обозначим высоту как $h$. Половина основания будет: $$\frac{64}{2} = 32$$ Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой (это боковая сторона) 40, одним катетом (это половина основания) 32 и вторым катетом (это высота) $h$. Мы можем использовать знаменитую теорему Пифагора, которая говорит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $$h^2 + (\text{половина основания})^2 = (\text{боковая сторона})^2$$ $$h^2 + 32^2 = 40^2$$ Вычислим квадраты: $$32^2 = 32 \cdot 32 = 1024$$ $$40^2 = 40 \cdot 40 = 1600$$ Теперь подставим эти значения: $$h^2 + 1024 = 1600$$ Чтобы найти $h^2$, вычтем 1024 из 1600: $$h^2 = 1600 - 1024$$ $$h^2 = 576$$ Теперь нам нужно найти число, которое при умножении само на себя даёт 576. Это корень квадратный из 576: $$h = \sqrt{576}$$ $$h = 24$$ Вот мы и нашли высоту! Она равна 24. **Шаг 3: Найдём площадь треугольника.** Формула для площади треугольника такая: $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$$ Мы знаем основание (64) и высоту (24). Подставим их в формулу: $$S = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot 24$$ Сначала умножим 64 на 24: $$64 \cdot 24 = 1536$$ Теперь разделим это число на 2: $$S = \frac{1536}{2}$$ $$S = 768$$ **Ответ: 768**