Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°; б) высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол в 45°.

**а) Ответ: $100\sqrt{3}$ см² (или $\approx 173,2$ см²)** 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если один угол $30^\circ$, то и второй $30^\circ$. 2. Сумма углов треугольника $180^\circ$. Угол при вершине равен: $180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$. 3. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$ $S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \sin(120^\circ) = 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3}$ (см²). **б) Ответ: 18 см²** 1. Пусть треугольник $ABC$, где $AB = BC$ — боковые стороны, $AC$ — основание. Проведём высоту $AH$ к боковой стороне $BC$. 2. По условию $AH = 6$ см, а $\angle HAC = 45^\circ$ (угол между высотой и основанием). 3. В прямоугольном $\triangle AHC$: $\angle C = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как углы при основании равны, то $\angle BAC = 45^\circ$. 4. Тогда угол при вершине $\angle B = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$. Треугольник прямоугольный и равнобедренный. 5. В $\triangle AHC$ сторона $AC = \frac{AH}{\sin(45^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{2}/2} = 6\sqrt{2}$ см. 6. Так как $\triangle ABC$ прямоугольный ($AB=BC$, $\angle B=90^\circ$), то по теореме Пифагора $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2AB^2$: $(6\sqrt{2})^2 = 2AB^2 \Rightarrow 72 = 2AB^2 \Rightarrow AB^2 = 36 \Rightarrow AB = 6$ см. 7. Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ (см²).