ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.8

Пусть данные простые числа, образующие арифметическую прогрессию, равны: $$ p_1 = p, \quad p_2 = p + d, \quad p_3 = p + 2d $$ где $d$ — разность арифметической прогрессии. По условию, $p_1, p_2, p_3 > 3$. Чтобы доказать, что разность $d$ кратна 6, достаточно показать, что $d$ делится на 2 и на 3, так как числа 2 и 3 взаимно простые. **1. Докажем, что $d$ делится на 2:** Единственным чётным простым числом является 2. Так как по условию все три числа больше 3, они являются нечётными. Разность двух нечётных чисел всегда чётна: $$ d = p_2 - p_1 $$ Разность нечётных чисел $p_2$ и $p_1$ делится на 2, следовательно, $d$ кратно 2. **2. Докажем, что $d$ делится на 3:** Так как простые числа больше 3, ни одно из них не делится на 3. Значит, при делении на 3 каждое из чисел $p_1, p_2, p_3$ может давать в остатке только 1 или 2. Предположим противное: разность $d$ не делится на 3. Тогда при делении на 3 число $d$ даёт остаток 1 или остаток 2. * Случай 1: $d$ даёт остаток 1 при делении на 3 (то есть $d = 3k + 1$). * Если $p$ даёт остаток 1 при делении на 3, то число $p_3 = p + 2d$ даёт остаток $1 + 2 \cdot 1 = 3$, то есть делится на 3 без остатка. * Если $p$ даёт остаток 2 при делении на 3, то число $p_2 = p + d$ даёт остаток $2 + 1 = 3$, то есть делится на 3 без остатка. * Случай 2: $d$ даёт остаток 2 при делении на 3 (то есть $d = 3k + 2$). * Если $p$ даёт остаток 1 при делении на 3, то число $p_2 = p + d$ даёт остаток $1 + 2 = 3$, то есть делится на 3 без остатка. * Если $p$ даёт остаток 2 при делении на 3, то число $p_3 = p + 2d$ даёт остаток $2 + 2 \cdot 2 = 6$, то есть делится на 3 без остатка. В обоих случаях одно из чисел ($p_2$ или $p_3$) оказывается кратным 3. Но по условию эти числа простые и строго больше 3, следовательно, они не могут делиться на 3. Полученное противоречие означает, что предположение неверно, и разность $d$ обязательно делится на 3. **3. Вывод:** Так как разность прогрессии $d$ одновременно делится на 2 и на 3, а числа 2 и 3 взаимно просты ($\text{НОД}(2; 3) = 1$), то $d$ делится на их произведение: $$ 2 \cdot 3 = 6 $$ Значит, разность этой прогрессии кратна 6, что и требовалось доказать.