ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.5

Пусть даны четыре последовательных целых числа: $n$, $n + 1$, $n + 2$, $n + 3$, где $n \in \mathbb{Z}$. Запишем их произведение: $$ P = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) $$ Число $24$ можно представить в виде произведения взаимно простых чисел: $24 = 3 \cdot 8$, где $\text{НОД}(3, 8) = 1$. Следовательно, чтобы доказать делимость произведения на $24$, достаточно доказать, что оно делится на $3$ и на $8$. 1. **Делимость на 3:** Среди любых трёх последовательных целых чисел обязательно найдётся число, кратное $3$. Поскольку в произведении $P$ перемножаются четыре последовательных целых числа, хотя бы один из множителей делится на $3$. Значит, всё произведение $P$ делится на $3$. 2. **Делимость на 8:** Среди четырёх последовательных целых чисел ровно два числа являются чётными, причём они идут через одно. Это означает, что одно из этих чётных чисел делится на $2$ (но не делится на $4$), а другое обязательно делится на $4$. Произведение этих двух чётных множителей делится на: $$ 2 \cdot 4 = 8 $$ Следовательно, всё произведение $P$ делится на $8$. Так как произведение $P$ одновременно делится на $3$ и на $8$, а числа $3$ и $8$ взаимно просты, то $P$ делится на их произведение: $$ 3 \cdot 8 = 24 $$ Утверждение доказано.