ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.7

**Доказательство:** 1. Любое нечётное число можно представить в виде: $$ n = 2k + 1, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} $$ 2. Составим разность квадрата этого числа и единицы: $$ n^2 - 1 = (2k + 1)^2 - 1 $$ 3. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы и приведём подобные слагаемые: $$ (2k + 1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k^2 + 4k $$ 4. Вынесем общий множитель $4k$ за скобки: $$ 4k^2 + 4k = 4k(k + 1) $$ 5. Множители $k$ и $k + 1$ являются двумя последовательными целыми числами. Из двух последовательных целых чисел одно обязательно является чётным, то есть делится на $2$. Следовательно, их произведение делится на $2$, и его можно записать как $k(k + 1) = 2m$, где $m \in \mathbb{Z}$. 6. Подставим это выражение в исходное: $$ 4k(k + 1) = 4 \cdot 2m = 8m $$ Так как полученное выражение $8m$ делится на $8$ при любом целом значении $k$, то разность квадрата нечётного числа и единицы всегда делится на $8$. Что и требовалось доказать.