ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.10

**1)** По условию $a : b = 4 : 7$ и $(a, b) = 8$, где $(a, b)$ — наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$. Так как отношение чисел равно $4 : 7$, выразим $a$ и $b$ через коэффициент пропорциональности $k \in \mathbb{N}$: $$ a = 4k, \quad b = 7k $$ Поскольку числа $4$ и $7$ взаимно просты (то есть $(4, 7) = 1$), наибольшим общим делителем чисел $a$ и $b$ является $k$: $$ (a, b) = (4k, 7k) = k \cdot (4, 7) = k $$ Следовательно, $k = 8$. Найдём искомые числа: $$ a = 4 \cdot 8 = 32 $$ $$ b = 7 \cdot 8 = 56 $$ **Ответ:** $a = 32$, $b = 56$. --- **2)** По условию $[a, b] = 124$ и $(a, b) = 31$, где $[a, b]$ — наименьшее общее кратное, а $(a, b)$ — наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$. Так как наибольший общий делитель равен $31$, представим числа в виде: $$ a = 31x, \quad b = 31y $$ где $x$ и $y$ — взаимно простые натуральные числа, то есть $(x, y) = 1$. Наименьшее общее кратное для таких чисел вычисляется по формуле: $$ [a, b] = 31xy $$ Подставим данное по условию значение: $$ 31xy = 124 $$ $$ xy = \frac{124}{31} = 4 $$ Так как $x, y \in \mathbb{N}$ и $(x, y) = 1$, возможны следующие пары значений: 1) $x = 1, y = 4$: $$ a = 31 \cdot 1 = 31, \quad b = 31 \cdot 4 = 124 $$ 2) $x = 4, y = 1$: $$ a = 31 \cdot 4 = 124, \quad b = 31 \cdot 1 = 31 $$ *(Случай $x = 2, y = 2$ не подходит, так как $(2, 2) = 2 \neq 1$.)* **Ответ:** $a = 31, b = 124$ или $a = 124, b = 31$. --- **3)** По условию $ab = 375$ и $[a, b] = 75$. Воспользуемся свойством связи наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел: $$ a \cdot b = (a, b) \cdot [a, b] $$ Найдём наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$: $$ (a, b) = \frac{ab}{[a, b]} = \frac{375}{75} = 5 $$ Пусть $a = 5x$ и $b = 5y$, где $x$ и $y$ — взаимно простые натуральные числа ($(x, y) = 1$). Тогда наименьшее общее кратное равно: $$ [a, b] = 5xy = 75 \implies xy = 15 $$ Разложим число $15$ на два взаимно простых множителя: 1) $x = 1, y = 15$: $$ a = 5 \cdot 1 = 5, \quad b = 5 \cdot 15 = 75 $$ 2) $x = 3, y = 5$: $$ a = 5 \cdot 3 = 15, \quad b = 5 \cdot 5 = 25 $$ 3) $x = 5, y = 3$: $$ a = 5 \cdot 5 = 25, \quad b = 5 \cdot 3 = 15 $$ 4) $x = 15, y = 1$: $$ a = 5 \cdot 15 = 75, \quad b = 5 \cdot 1 = 5 $$ **Ответ:** $a = 5, b = 75$; $a = 15, b = 25$; $a = 25, b = 15$ или $a = 75, b = 5$.