ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.6

Пусть $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Составим выражение для разности куба числа и самого числа: $$ n^3 - n $$ Разложим полученное выражение на множители: $$ n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1) $$ Выражение $(n - 1)n(n + 1)$ представляет собой произведение трёх последовательных целых чисел. --- ### Анализ утверждения задачи 1. **Для произвольного целого числа $n$:** Среди трёх последовательных целых чисел хотя бы одно кратно $2$ и ровно одно кратно $3$. Следовательно, при любом целом $n$ произведение $(n - 1)n(n + 1)$ всегда делится на $2 \cdot 3 = 6$. Однако на $24$ данная разность делится не всегда. Например: - при $n = 2$: $2^3 - 2 = 8 - 2 = 6$ (не делится на $24$); - при $n = 4$: $4^3 - 4 = 64 - 4 = 60$ (не делится на $24$). Таким образом, для произвольного целого числа утверждение не выполняется. В условии задачи допущена классическая опечатка — требуется доказать делимость на $24$ для **нечётного целого числа**. --- ### Доказательство для нечётного целого числа Пусть $n$ — нечётное целое число. Тогда его можно представить в виде: $$ n = 2k + 1, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} $$ Подставим $n = 2k + 1$ в разложенное выражение: $$ (n - 1)n(n + 1) = (2k + 1 - 1)(2k + 1)(2k + 1 + 1) = 2k(2k + 1)(2k + 2) $$ Вынесем общий множитель $2$ из третьей скобки: $$ 2k(2k + 1) \cdot 2(k + 1) = 4k(k + 1)(2k + 1) $$ Докажем делимость полученного выражения на $24$: 1. **Делимость на 8:** Множители $k$ и $k + 1$ — два последовательных целых числа, значит, одно из них обязательно чётно (делится на $2$). Следовательно, произведение $k(k + 1)$ делится на $2$. Тогда всё выражение делится на: $$ 4 \cdot 2 = 8 $$ 2. **Делимость на 3:** Числа $(n - 1)$, $n$, $(n + 1)$ — три последовательных целых числа. В любом наборе из трёх последовательных целых чисел одно обязательно делится на $3$. 3. Так как числа $8$ и $3$ взаимно просты ($\text{НОД}(8, 3) = 1$), то выражение, делящееся одновременно на $8$ и на $3$, делится и на их произведение: $$ 8 \cdot 3 = 24 $$ Таким образом, для любого нечётного целого числа разность его куба и самого числа делится на $24$. Что и требовалось доказать.