ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.4

**1)** Разложим выражение $n^4 - n^2$ на множители: $$ n^4 - n^2 = n^2(n^2 - 1) = (n - 1)n^2(n + 1) = (n - 1)n(n + 1) \cdot n $$ Число 12 представимо в виде произведения взаимно простых чисел: $12 = 3 \cdot 4$. Докажем делимость на 3 и на 4: - Выражение содержит произведение трех последовательных целых чисел $(n - 1)n(n + 1)$. Одно из трех последовательных чисел обязательно делится на 3, следовательно, все выражение делится на 3. - Рассмотрим четность числа $n$: - Если $n$ — четное, то $n = 2k$, тогда $n^2 = 4k^2$ делится на 4. - Если $n$ — нечетное, то множители $(n - 1)$ и $(n + 1)$ являются двумя последовательными четными числами. Одно из них делится на 2, а другое — на 4, значит, их произведение $(n - 1)(n + 1)$ делится на 8, а следовательно, и на 4. Так как выражение делится на 3 и на 4, а числа 3 и 4 взаимно просты, то $n^4 - n^2$ делится на $3 \cdot 4 = 12$ при любом натуральном $n$. **2)** Разложим выражение $n^9 - n^3$ на множители: $$ n^9 - n^3 = n^3(n^6 - 1) = n^3(n^3 - 1)(n^3 + 1) $$ Разложим число 504 на простые множители: $504 = 8 \cdot 9 \cdot 7$. Так как числа 8, 9 и 7 попарно взаимно просты, достаточно доказать делимость на каждое из них: - **Делимость на 8:** - Если $n$ — четное, то $n^3$ делится на $2^3 = 8$. - Если $n$ — нечетное, то $n^3$ нечетно, тогда $(n^3 - 1)$ и $(n^3 + 1)$ — два последовательных четных числа. Одно из них делится на 2, а другое — на 4, поэтому их произведение $(n^3 - 1)(n^3 + 1) = n^6 - 1$ делится на 8. - **Делимость на 9:** - Если $n$ делится на 3, то $n^3$ делится на $3^3 = 27$, следовательно, делится и на 9. - Если $n$ не делится на 3, то куб любого целого числа, не кратного 3, при делении на 9 дает остаток 1 или 8 (так как $1^3 \equiv 1$, $2^3 \equiv 8 \equiv -1$, $4^3 = 64 \equiv 1$, $5^3 = 125 \equiv -1$, $7^3 \equiv 1$, $8^3 \equiv -1 \pmod 9$). Значит, либо $(n^3 - 1)$, либо $(n^3 + 1)$ делится на 9. - **Делимость на 7:** - Если $n$ кратно 7, то множитель $n^3$ делится на 7. - Если $n$ не делится на 7, то по малой теореме Ферма число $n^6 - 1$ делится на 7 (так как $n^6 \equiv 1 \pmod 7$). Таким образом, выражение $n^9 - n^3$ делится на 8, 9 и 7, а значит, делится на $8 \cdot 9 \cdot 7 = 504$. **3)** Свернем выражение по формуле квадрата суммы: $$ n^4 + 14n^2 + 49 = (n^2 + 7)^2 $$ По условию число $n$ нечетное, поэтому его можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число: $$ n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1 $$ Произведение $k(k + 1)$ состоит из двух последовательных чисел, поэтому оно четно: $k(k + 1) = 2m$. Отсюда: $$ n^2 = 4 \cdot 2m + 1 = 8m + 1 $$ Подставим это значение в скобку: $$ n^2 + 7 = (8m + 1) + 7 = 8m + 8 = 8(m + 1) $$ Возведем в квадрат: $$ (n^2 + 7)^2 = (8(m + 1))^2 = 64(m + 1)^2 $$ Так как множитель 64 делится на 64, то число $n^4 + 14n^2 + 49$ делится на 64 при любом нечетном $n$. **4)** Вынесем общий множитель 5 за скобки: $$ 5^n - 5 = 5(5^{n-1} - 1) $$ - При $n = 1$: $5^1 - 5 = 0$, а 0 делится на 20. - При любом $n \ge 2$ применим формулу разности степеней $a^k - 1 = (a - 1)(a^{k-1} + a^{k-2} + \dots + 1)$: $$ 5^{n-1} - 1 = (5 - 1)(5^{n-2} + 5^{n-3} + \dots + 1) = 4 \cdot M $$ где $M = 5^{n-2} + \dots + 1$ — натуральное число. Тогда: $$ 5^n - 5 = 5 \cdot 4 \cdot M = 20M $$ Число $20M$ содержит множитель 20, следовательно, $5^n - 5$ делится на 20 при каждом натуральном $n$. **5)** Вынесем общий множитель 7 за скобки: $$ 7^n - 7 = 7(7^{n-1} - 1) $$ - При $n = 1$: $7^1 - 7 = 0$, а 0 делится на 42. - При любом $n \ge 2$ применим формулу разности степеней $a^k - 1 = (a - 1)(a^{k-1} + a^{k-2} + \dots + 1)$: $$ 7^{n-1} - 1 = (7 - 1)(7^{n-2} + 7^{n-3} + \dots + 1) = 6 \cdot K $$ где $K = 7^{n-2} + \dots + 1$ — натуральное число. Тогда: $$ 7^n - 7 = 7 \cdot 6 \cdot K = 42K $$ Так как в полученном произведении есть множитель 42, то $7^n - 7$ делится на 42 при каждом натуральном $n$.