ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.57

### 1) $$ a^{\frac{5}{3}} b^{-\frac{1}{6}} \left( a^{-\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} \right)^4 $$ Применим свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$: $$ \left( a^{-\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} \right)^4 = a^{-\frac{1}{3} \cdot 4} \cdot b^{\frac{1}{3} \cdot 4} = a^{-\frac{4}{3}} b^{\frac{4}{3}} $$ Перемножим степени с одинаковыми основаниями (показатели складываются): $$ a^{\frac{5}{3}} b^{-\frac{1}{6}} \cdot a^{-\frac{4}{3}} b^{\frac{4}{3}} = a^{\frac{5}{3} - \frac{4}{3}} \cdot b^{-\frac{1}{6} + \frac{4}{3}} $$ Вычислим показатели: - для $a$: $\frac{5}{3} - \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$; - для $b$: $-\frac{1}{6} + \frac{4}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{8}{6} = \frac{7}{6}$. Получаем: $$ a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{7}{6}} \quad \left(\text{или } \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{b^7} = b\sqrt[3]{a}\sqrt[6]{b}\right) $$ **Ответ:** $a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{7}{6}}$ --- ### 2) $$ \left( c^{-\frac{3}{7}} x^{-0,4} \right)^3 \cdot c^{\frac{2}{7}} x^{0,2} $$ Раскроем скобки, перемножив показатели: $$ c^{-\frac{3}{7} \cdot 3} \cdot x^{-0,4 \cdot 3} \cdot c^{\frac{2}{7}} x^{0,2} = c^{-\frac{9}{7}} x^{-1,2} \cdot c^{\frac{2}{7}} x^{0,2} $$ Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $$ c^{-\frac{9}{7} + \frac{2}{7}} \cdot x^{-1,2 + 0,2} = c^{-\frac{7}{7}} \cdot x^{-1} = c^{-1} x^{-1} = \frac{1}{cx} $$ **Ответ:** $c^{-1} x^{-1}$ (или $\frac{1}{cx}$) --- ### 3) $$ 10 \sqrt[10]{c^3 \sqrt{c^2}} $$ Упростим подкоренное выражение при $c > 0$: $$ \sqrt{c^2} = c $$ $$ c^3 \cdot c = c^4 $$ Подставим полученный результат под внешний корень и перейдем к дробному показателю: $$ 10 \sqrt[10]{c^4} = 10 \cdot c^{\frac{4}{10}} = 10 \cdot c^{\frac{2}{5}} = 10 \sqrt[5]{c^2} $$ *(Примечание: если число 10 перед корнем возникло как дубликат показателя корня $\sqrt[10]{\dots}$, то значение выражения равно $\sqrt[5]{c^2}$).* **Ответ:** $10 \sqrt[5]{c^2}$ --- ### 4) $$ \sqrt[3]{y^2 \cdot 4 \sqrt{y^{-3}}} $$ Представим выражения под корнем в виде степеней с дробными показателями при $y > 0$: $$ \sqrt{y^{-3}} = y^{-\frac{3}{2}} $$ $$ y^2 \cdot y^{-\frac{3}{2}} = y^{2 - \frac{3}{2}} = y^{\frac{1}{2}} $$ Тогда под знаком кубического корня имеем $4 y^{\frac{1}{2}}$: $$ \sqrt[3]{4 y^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{4} \cdot \left(y^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{4} \cdot y^{\frac{1}{6}} \quad \left(\text{или } \sqrt[6]{16y}\right) $$ *(Примечание: если 4 являлась показателем корня, то есть $\sqrt[3]{y^2 \sqrt[4]{y^{-3}}}$, то выражение равно $\sqrt[3]{y^2 \cdot y^{-\frac{3}{4}}} = \sqrt[3]{y^{\frac{5}{4}}} = y^{\frac{5}{12}} = \sqrt[12]{y^5}$).* **Ответ:** $\sqrt[3]{4} y^{\frac{1}{6}}$ (или $\sqrt[12]{y^5}$, если корень четвёртой степени) --- ### 5) $$ \sqrt[7]{x^4} : 14 \sqrt[14]{x} $$ Перейдем от корней к степеням с рациональными показателями при $x > 0$: $$ \sqrt[7]{x^4} = x^{\frac{4}{7}} = x^{\frac{8}{14}} $$ $$ \sqrt[14]{x} = x^{\frac{1}{14}} $$ Выполним деление: $$ \frac{x^{\frac{8}{14}}}{14 x^{\frac{1}{14}}} = \frac{1}{14} \cdot x^{\frac{8}{14} - \frac{1}{14}} = \frac{1}{14} \cdot x^{\frac{7}{14}} = \frac{1}{14} \cdot x^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{x}}{14} $$ *(Примечание: если число 14 является опечаткой от показателя корня $\sqrt[7]{x^4} : \sqrt[14]{x}$, то результат равен $\sqrt{x}$).* **Ответ:** $\frac{\sqrt{x}}{14}$ (или $\sqrt{x}$) --- ### 6) $$ 5 \sqrt[5]{m^2 \sqrt{m}} : 3 \sqrt[3]{m \sqrt{m}} $$ Преобразуем делимое: $$ m^2 \sqrt{m} = m^2 \cdot m^{\frac{1}{2}} = m^{\frac{5}{2}} $$ $$ \sqrt[5]{m^2 \sqrt{m}} = \sqrt[5]{m^{\frac{5}{2}}} = \left(m^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{5}} = m^{\frac{1}{2}} = \sqrt{m} $$ Следовательно, делимое равно $5\sqrt{m}$. Преобразуем делитель: $$ m \sqrt{m} = m^1 \cdot m^{\frac{1}{2}} = m^{\frac{3}{2}} $$ $$ \sqrt[3]{m \sqrt{m}} = \sqrt[3]{m^{\frac{3}{2}}} = \left(m^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = m^{\frac{1}{2}} = \sqrt{m} $$ Следовательно, делитель равен $3\sqrt{m}$. Выполним деление: $$ \frac{5\sqrt{m}}{3\sqrt{m}} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} $$ **Ответ:** $\frac{5}{3}$ (или $1\frac{2}{3}$)