ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.60

**1) $y = x^2$** * Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. * Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. * Чётность: функция чётная, так как $(-x)^2 = x^2$; график симметричен относительно оси $Oy$. * Вид графика: парабола с вершиной в точке $(0; 0)$, ветви направлены вверх. Таблица значений: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | Построение: отмечаем вершину $(0; 0)$ и точки $(-2; 4)$, $(-1; 1)$, $(1; 1)$, $(2; 4)$, соединяем их плавной непрерывной линией. --- **2) $y = \frac{1}{x}$** * Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. * Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. * Чётность: функция нечётная, так как $\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$; график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. * Вид графика: гипербола, ветви расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат ($x = 0$ и $y = 0$) являются асимптотами. Таблица значений: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $-0{,}5$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-0{,}5$ | $-1$ | $-2$ | $2$ | $1$ | $0{,}5$ | Построение: строим ветвь в III четверти по точкам $(-2; -0{,}5)$, $(-1; -1)$, $(-0{,}5; -2)$ и ветвь в I четверти по точкам $(0{,}5; 2)$, $(1; 1)$, $(2; 0{,}5)$, приближая график к осям координат, но не пересекая их. --- **3) $y = |x|$** * Раскрытие модуля по определению: $$ y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ -x, & \text{если } x < 0. \end{cases} $$ * Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. * Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. * Чётность: функция чётная, так как $|-x| = |x|$; график симметричен относительно оси $Oy$. * Вид графика: два луча, выходящие из начала координат $(0; 0)$ и являющиеся биссектрисами I и II координатных углов. Таблица значений: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ | $2$ | Построение: проводим луч из точки $(0; 0)$ через точку $(1; 1)$ вправо-вверх и второй луч из $(0; 0)$ через точку $(-1; 1)$ влево-вверх. --- **4) $y = x^3$** * Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. * Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$. * Чётность: функция нечётная, так как $(-x)^3 = -x^3$; график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. * Вид графика: кубическая парабола, проходящая через I и III координатные четверти. Таблица значений: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-8$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $8$ | Построение: наносим точки $(-2; -8)$, $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 8)$ и соединяем их плавной кривой с перегибом в точке $(0; 0)$. --- **5) $y = \sqrt{x}$** * Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$ (подкоренное выражение неотрицательно: $x \ge 0$). * Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$ (значение арифметического корня неотрицательно). * Вид графика: верхняя ветвь параболы, выходящая из начала координат вправо-вверх (расположена в I четверти). Таблица значений: | $x$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | Построение: отмечаем начало графика в точке $(0; 0)$ и наносим точки $(1; 1)$, $(4; 2)$, $(9; 3)$, соединяя их плавной линией. --- **6) $y = \sqrt[3]{x}$** * Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (корень нечётной степени существует при любых действительных $x$). * Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$. * Чётность: функция нечётная, так как $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$; график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. * Вид графика: ветви кубической параболы, ориентированные вдоль оси $Ox$. Таблица значений: | $x$ | $-8$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $8$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | Построение: отмечаем точки $(-8; -2)$, $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(8; 2)$ и проводим через них плавную непрерывную кривую. --- **7) $y = \frac{1}{x^2}$** * Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ ($x \ne 0$). * Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$. * Чётность: функция чётная, так как $\frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2}$; график симметричен относительно оси $Oy$. * Вид графика: кривая из двух ветвей, расположенных в I и II четвертях. Оси координат ($x = 0$ и $y = 0$) являются асимптотами. Таблица значений: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $-0{,}5$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0{,}25$ | $1$ | $4$ | $4$ | $1$ | $0{,}25$ | Построение: наносим точки во II четверти $(-2; 0{,}25)$, $(-1; 1)$, $(-0{,}5; 4)$ и симметричные им в I четверти $(0{,}5; 4)$, $(1; 1)$, $(2; 0{,}25)$, приближая график к оси $Oy$ вверх и к оси $Ox$ вправо и влево. --- **8) $y = \sqrt{1 - x^2}$** * Область определения: $$ 1 - x^2 \ge 0 \iff x^2 \le 1 \iff x \in [-1; 1] $$ * Область значений: так как $0 \le 1 - x^2 \le 1$, то $E(y) = [0; 1]$. * Чётность: функция чётная, так как $\sqrt{1 - (-x)^2} = \sqrt{1 - x^2}$; график симметричен относительно оси $Oy$. * Геометрический смысл: возведя обе части в квадрат при условии $y \ge 0$, получаем: $$ y^2 = 1 - x^2 \iff x^2 + y^2 = 1 \quad (y \ge 0) $$ Это верхняя половина окружности с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = 1$. Таблица ключевых точек: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0$ | $1$ | $0$ | Построение: строим полуокружность радиуса $1$ с центром в $(0; 0)$, проходящую через точки $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; 0)$ и лежащую не ниже оси $Ox$.