ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.56

1) Преобразуем числитель дроби, используя определение степени с отрицательным показателем: $$ x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy} = \frac{x + y}{xy} $$ Подставим полученное выражение в исходную дробь и выполним сокращение: $$ \frac{x^{-1} + y^{-1}}{(x + y)^2} = \frac{\frac{x + y}{xy}}{(x + y)^2} = \frac{x + y}{xy(x + y)^2} = \frac{1}{xy(x + y)} $$ Ответ: $\frac{1}{xy(x + y)}$ --- 2) Заменим степени с отрицательными показателями на дроби: $$ ab^{-1} - a^{-1}b = \frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2 - b^2}{ab} $$ $$ a^{-1} - b^{-1} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} $$ Выполним деление числителя на знаменатель и применим формулу разности квадратов: $$ \frac{ab^{-1} - a^{-1}b}{a^{-1} - b^{-1}} = \frac{\frac{a^2 - b^2}{ab}}{\frac{b - a}{ab}} = \frac{a^2 - b^2}{b - a} = \frac{(a - b)(a + b)}{-(a - b)} = -(a + b) = -a - b $$ Ответ: $-(a + b)$ (или $-a - b$) --- 3) Вынесем в числителе и знаменателе общий множитель за скобки (в знаменателе вынесем наименьшую степень $a^{-7}$): $$ a^5 + a^6 + a^7 = a^5(1 + a + a^2) $$ $$ a^{-5} + a^{-6} + a^{-7} = a^{-7}(a^2 + a + 1) = a^{-7}(1 + a + a^2) $$ Подставим полученные разложения в дробь и сократим одинаковые множители: $$ \frac{a^5 + a^6 + a^7}{a^{-5} + a^{-6} + a^{-7}} = \frac{a^5(1 + a + a^2)}{a^{-7}(1 + a + a^2)} = \frac{a^5}{a^{-7}} = a^{5 - (-7)} = a^{12} $$ Ответ: $a^{12}$ --- 4) Упростим выражение по действиям: Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $$ a^{-2n} - b^{-2n} = (a^{-n})^2 - (b^{-n})^2 = (a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n}) $$ Тогда первая дробь примет вид: $$ \frac{a^{-n} + b^{-n}}{a^{-2n} - b^{-2n}} = \frac{a^{-n} + b^{-n}}{(a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n})} = \frac{1}{a^{-n} - b^{-n}} $$ Преобразуем делитель, учитывая, что $\frac{1}{b^{-n}} = b^n$ и $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$: $$ \left( \frac{1}{b^{-n}} - \frac{1}{a^{-n}} \right)^{-1} = (b^n - a^n)^{-1} = \frac{1}{b^n - a^n} $$ Выполним деление: $$ \frac{1}{a^{-n} - b^{-n}} : \frac{1}{b^n - a^n} = \frac{b^n - a^n}{a^{-n} - b^{-n}} $$ Преобразуем знаменатель полученной дроби: $$ a^{-n} - b^{-n} = \frac{1}{a^n} - \frac{1}{b^n} = \frac{b^n - a^n}{a^n b^n} $$ Подставим его обратно: $$ \frac{b^n - a^n}{\frac{b^n - a^n}{a^n b^n}} = (b^n - a^n) \cdot \frac{a^n b^n}{b^n - a^n} = a^n b^n = (ab)^n $$ Ответ: $a^n b^n$ (или $(ab)^n$) --- 5) Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов и выполним сокращение: $$ \frac{a^{-2n} - b^{-2n}}{a^{-n} - b^{-n}} = \frac{(a^{-n} - b^{-n})(a^{-n} + b^{-n})}{a^{-n} - b^{-n}} = a^{-n} + b^{-n} $$ Преобразуем выражение во второй скобке: $$ \left( \frac{1}{b^{-n}} + \frac{1}{a^{-n}} \right)^{-1} = (b^n + a^n)^{-1} = \frac{1}{a^n + b^n} $$ Перемножим полученные результаты: $$ (a^{-n} + b^{-n}) \cdot \frac{1}{a^n + b^n} = \left( \frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} \right) \cdot \frac{1}{a^n + b^n} = \frac{b^n + a^n}{a^n b^n} \cdot \frac{1}{a^n + b^n} = \frac{1}{a^n b^n} = a^{-n}b^{-n} $$ Ответ: $\frac{1}{a^n b^n}$ (или $a^{-n}b^{-n}$)