ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.55

1. Решим первое неравенство: $$ x^2 - 5x + 4 \leqslant 0 $$ Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \cdot x_2 = 4 \end{cases} \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 4 $$ Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x + 4$ направлены вверх, значения квадратного трехчлена неположительны между корнями: $$ x \in [1; 4] $$ 2. Решим второе неравенство: $$ x^2 - a^2 > 0 $$ Разложим левую часть на множители: $$ (x - |a|)(x + |a|) > 0 $$ Решением этого неравенства является объединение двух промежутков: $$ x \in (-\infty; -|a|) \cup (|a|; +\infty) $$ 3. По условию задачи любое решение первого неравенства должно являться решением второго неравенства. Это означает, что отрезок $[1; 4]$ должен полностью содержаться в множестве решений второго неравенства: $$ [1; 4] \subset \bigl((-\infty; -|a|) \cup (|a|; +\infty)\bigr) $$ Так как для всех $x \in [1; 4]$ значения переменной строго положительны ($x \geqslant 1 > 0$), отрезок $[1; 4]$ может содержаться только в правом луче $(|a|; +\infty)$. Для этого наименьшая точка отрезка должна быть строго больше левой границы интервала: $$ |a| < 1 $$ Раскроем знак модуля: $$ -1 < a < 1 $$ Ответ: $a \in (-1; 1)$.