ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.40

### 1) $a(a-1)x = a$ Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$. Рассмотрим возможные значения коэффициента перед $x$: 1. Если $a = 0$, то уравнение принимает вид: $$ 0 \cdot (0 - 1)x = 0 $$ $$ 0 \cdot x = 0 $$ Равенство верно при любом значении $x$. Значит, $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$). 2. Если $a = 1$, то уравнение принимает вид: $$ 1 \cdot (1 - 1)x = 1 $$ $$ 0 \cdot x = 1 $$ Данное равенство не имеет решений, так как левая часть равна $0$ при любом $x$. 3. Если $a \neq 0$ и $a \neq 1$, то обе части уравнения можно разделить на $a(a - 1)$: $$ x = \frac{a}{a(a - 1)} = \frac{1}{a - 1} $$ **Ответ:** - при $a = 0$: $x \in \mathbb{R}$ (любое число); - при $a = 1$: решений нет; - при $a \neq 0$ и $a \neq 1$: $x = \frac{1}{a - 1}$. --- ### 2) $x^2 + ax + 36 = 0$ Это квадратное уравнение, где $A = 1$, $B = a$, $C = 36$. Найдем дискриминант: $$ D = B^2 - 4AC = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = a^2 - 144 $$ Количество и вид корней зависят от знака дискриминанта: 1. Если $D < 0$, то есть $a^2 - 144 < 0 \iff a^2 < 144 \iff -12 < a < 12$: действительных корней нет. 2. Если $D = 0$, то есть $a^2 - 144 = 0 \iff a = 12$ или $a = -12$: уравнение имеет один корень (два совпадающих): $$ x = -\frac{a}{2} $$ - при $a = 12$: $x = -\frac{12}{2} = -6$; - при $a = -12$: $x = -\frac{-12}{2} = 6$. 3. Если $D > 0$, то есть $a^2 - 144 > 0 \iff a \in (-\infty; -12) \cup (12; +\infty)$: уравнение имеет два различных действительных корня: $$ x_{1, 2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 144}}{2} $$ **Ответ:** - при $a \in (-12; 12)$: решений нет; - при $a = 12$: $x = -6$; - при $a = -12$: $x = 6$; - при $a \in (-\infty; -12) \cup (12; +\infty)$: $x_{1, 2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 144}}{2}$. --- ### 3) $x^2 - (2a+1)x + a^2 + a = 0$ Это квадратное уравнение с коэффициентами $A = 1$, $B = -(2a + 1)$, $C = a^2 + a$. Вычислим дискриминант: $$ D = (-(2a + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + a) = 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 - 4a = 1 $$ Так как $D = 1 > 0$ при любых значениях параметра $a$, уравнение всегда имеет два различных корня: $$ x_1 = \frac{(2a + 1) + \sqrt{1}}{2} = \frac{2a + 2}{2} = a + 1 $$ $$ x_2 = \frac{(2a + 1) - \sqrt{1}}{2} = \frac{2a}{2} = a $$ **Ответ:** при любых значениях $a$: $x_1 = a$, $x_2 = a + 1$. --- ### 4) $\frac{x - a}{x - 3} = 0$ Дробно-рациональное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: $$ \begin{cases} x - a = 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = a \\ x \neq 3 \end{cases} $$ Проверим условие допустимости корня: - если $a = 3$, то корень $x = 3$ обращает знаменатель в ноль, поэтому уравнение не имеет решений; - если $a \neq 3$, то корень удовлетворяет условию $x \neq 3$. **Ответ:** - при $a = 3$: решений нет; - при $a \neq 3$: $x = a$. --- ### 5) $\frac{x^2 - a^2}{x - 3} = 0$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: $$ \begin{cases} x^2 - a^2 = 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} (x - a)(x + a) = 0 \\ x \neq 3 \end{cases} $$ Корни числителя: $x_1 = a$, $x_2 = -a$. Условие допустимых значений: $x \neq 3$. Рассмотрим, при каких значениях $a$ корни числителя обращают знаменатель в ноль: 1. Если $a = 3$, то $x_1 = 3$ (посторонний корень, так как $x \neq 3$), остается только корень $x_2 = -3$. 2. Если $a = -3$, то $x_2 = -(-3) = 3$ (посторонний корень), остается только корень $x_1 = -3$. 3. Если $a \neq 3$ и $a \neq -3$: - при $a = 0$ получаем один корень: $x = 0$; - при $a \neq 0$ получаем два корня: $x_1 = a$, $x_2 = -a$. **Ответ:** - при $a = 3$ и $a = -3$: $x = -3$; - при $a \neq \pm 3$: $x = \pm a$. --- ### 6) $\frac{x + a}{x + 3} = 0$ Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: $$ \begin{cases} x + a = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = -a \\ x \neq -3 \end{cases} $$ Проверим выполнимость условия $x \neq -3$: - если $-a = -3 \iff a = 3$, то найденное значение $x = -3$ обращает знаменатель в ноль, значит, решений нет; - если $a \neq 3$, то $x = -a$ удовлетворяет области допустимых значений. **Ответ:** - при $a = 3$: решений нет; - при $a \neq 3$: $x = -a$.