ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.41

1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ Это биквадратное уравнение. Введём замену переменной: пусть $x^2 = t$, где $t \ge 0$. Тогда: $$ t^2 - 5t + 4 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$. Возвращаемся к замене: - При $t = 1$: $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$; - При $t = 4$: $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Ответ: $-2; -1; 1; 2$. --- 2) $7x^4 - x^2 - 6 = 0$ Пусть $x^2 = t$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 7t^2 - t - 6 = 0 $$ Найдём дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-6) = 1 + 168 = 169 = 13^2$. $$ t = \frac{1 \pm 13}{14} \implies t_1 = 1, \quad t_2 = -\frac{6}{7} $$ Так как $t \ge 0$, значение $t_2 = -\frac{6}{7}$ не подходит. Возвращаемся к замене: $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Ответ: $-1; 1$. --- 3) $3x^4 - 5x^2 + 2 = 0$ Пусть $x^2 = t$, где $t \ge 0$. Уравнение принимает вид: $$ 3t^2 - 5t + 2 = 0 $$ Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$. $$ t = \frac{5 \pm 1}{6} \implies t_1 = 1, \quad t_2 = \frac{2}{3} $$ Возвращаемся к замене: - При $t = 1$: $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$; - При $t = \frac{2}{3}$: $x^2 = \frac{2}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$. Ответ: $\pm 1; \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$. --- 4) $(5x^2 + x - 1)^2 - (5x^2 + x - 1) - 2 = 0$ Введём замену переменной: пусть $5x^2 + x - 1 = t$. Получаем: $$ t^2 - t - 2 = 0 $$ По теореме Виета корни: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$. Выполним обратную замену: 1) $5x^2 + x - 1 = 2 \implies 5x^2 + x - 3 = 0$; $D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 1 + 60 = 61$; $x = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{10}$. 2) $5x^2 + x - 1 = -1 \implies 5x^2 + x = 0$; $x(5x + 1) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = -0{,}2$. Ответ: $-0{,}2; 0; \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{10}$. --- 5) $(3x^2 - x - 1)^2 - 18x^2 + 6x - 1 = 0$ Сгруппируем слагаемые: $-18x^2 + 6x - 1 = -6(3x^2 - x - 1) - 7$. Пусть $3x^2 - x - 1 = t$, тогда уравнение примет вид: $$ t^2 - 6t - 7 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 7$, $t_2 = -1$. Выполним обратную замену: 1) $3x^2 - x - 1 = 7 \implies 3x^2 - x - 8 = 0$; $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 1 + 96 = 97$; $x = \frac{1 \pm \sqrt{97}}{6}$. 2) $3x^2 - x - 1 = -1 \implies 3x^2 - x = 0$; $x(3x - 1) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{1}{3}$. Ответ: $0; \frac{1}{3}; \frac{1 \pm \sqrt{97}}{6}$. --- 6) $\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 5 \left( x + \frac{1}{x} \right) + 6 = 0$ Область допустимых значений: $x \neq 0$. Пусть $x + \frac{1}{x} = t$. Тогда: $$ t^2 - 5t + 6 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$. Выполним обратную замену: 1) $x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$; 2) $x + \frac{1}{x} = 3 \implies x^2 - 3x + 1 = 0$; $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$; $x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Все найденные значения удовлетворяют условию $x \neq 0$. Ответ: $1; \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$. --- 7) $x^2 + 5x + 8 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$ Область допустимых значений: $x \neq 0$. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами: $$ \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) + 5\left( x + \frac{1}{x} \right) + 8 = 0 $$ Пусть $x + \frac{1}{x} = t$, тогда $\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = t^2 \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$. Подставим в уравнение: $$ (t^2 - 2) + 5t + 8 = 0 \implies t^2 + 5t + 6 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = -2$, $t_2 = -3$. Выполним обратную замену: 1) $x + \frac{1}{x} = -2 \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x + 1)^2 = 0 \implies x = -1$; 2) $x + \frac{1}{x} = -3 \implies x^2 + 3x + 1 = 0$; $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$; $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Все корни удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $-1; \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$. --- 8) $x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = 0$ Так как $x = 0$ не является корнем уравнения ($1 \neq 0$), разделим обе части уравнения на $x^2$: $$ x^2 - 5x + 8 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} = 0 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) - 5\left( x + \frac{1}{x} \right) + 8 = 0 $$ Пусть $x + \frac{1}{x} = t$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$. Получаем: $$ (t^2 - 2) - 5t + 8 = 0 \implies t^2 - 5t + 6 = 0 $$ Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$. Выполним обратную замену: 1) $x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies x = 1$; 2) $x + \frac{1}{x} = 3 \implies x^2 - 3x + 1 = 0 \implies x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Ответ: $1; \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$. --- 9) $10x^4 - 29x^3 + 30x^2 - 29x + 10 = 0$ Значение $x = 0$ не является корнем уравнения ($10 \neq 0$). Разделим обе части на $x^2$: $$ 10\left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) - 29\left( x + \frac{1}{x} \right) + 30 = 0 $$ Пусть $x + \frac{1}{x} = t$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$: $$ 10(t^2 - 2) - 29t + 30 = 0 \implies 10t^2 - 29t + 10 = 0 $$ Дискриминант: $D = (-29)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 10 = 841 - 400 = 441 = 21^2$. $$ t = \frac{29 \pm 21}{20} \implies t_1 = \frac{5}{2} = 2{,}5, \quad t_2 = \frac{2}{5} = 0{,}4 $$ Выполним обратную замену: 1) $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$; $D = 25 - 16 = 9$; $x = \frac{5 \pm 3}{4} \implies x_1 = 2, \quad x_2 = 0{,}5$. 2) $x + \frac{1}{x} = \frac{2}{5} \implies 5x^2 - 2x + 5 = 0$; $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 4 - 100 = -96 < 0$ — действительных корней нет. Ответ: $0{,}5; 2$. --- 10) $\frac{2x^2 - 5x + 4}{3x - 2} + \frac{15x - 10}{2x^2 - 5x + 4} = 0$ Заметим, что $15x - 10 = 5(3x - 2)$. Тогда уравнение запишется как: $$ \frac{2x^2 - 5x + 4}{3x - 2} + 5 \cdot \frac{3x - 2}{2x^2 - 5x + 4} = 0 $$ ОДЗ: $3x - 2 \neq 0 \implies x \neq \frac{2}{3}$; для выражения $2x^2 - 5x + 4$ дискриминант $D = 25 - 32 = -7 < 0$, следовательно, $2x^2 - 5x + 4 > 0$ при всех действительных $x$. Пусть $\frac{2x^2 - 5x + 4}{3x - 2} = y$. Тогда: $$ y + \frac{5}{y} = 0 \implies \frac{y^2 + 5}{y} = 0 $$ Так как для любого действительного $y$ справедливо $y^2 + 5 \ge 5 > 0$, числитель не может быть равен нулю. Следовательно, уравнение не имеет действительных решений. Ответ: корней нет. --- 11) $\frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1} + \frac{2x - 1}{x^2 + 5x - 1} = 5{,}2$ Запишем десятичную дробь в виде обыкновенной: $5{,}2 = \frac{26}{5}$. ОДЗ: $2x - 1 \neq 0 \implies x \neq 0{,}5$ и $x^2 + 5x - 1 \neq 0$. Пусть $\frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1} = t$. Тогда: $$ t + \frac{1}{t} = \frac{26}{5} \implies 5t^2 - 26t + 5 = 0 $$ Дискриминант: $D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$. $$ t = \frac{26 \pm 24}{10} \implies t_1 = 5, \quad t_2 = \frac{1}{5} $$ Выполним обратную замену: 1) $\frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1} = 5 \implies x^2 + 5x - 1 = 10x - 5$; $x^2 - 5x + 4 = 0$; $x_1 = 1, \quad x_2 = 4$. 2) $\frac{x^2 + 5x - 1}{2x - 1} = \frac{1}{5} \implies 5(x^2 + 5x - 1) = 2x - 1$; $5x^2 + 25x - 5 = 2x - 1 \implies 5x^2 + 23x - 4 = 0$; $D = 23^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 529 + 80 = 609$; $x = \frac{-23 \pm \sqrt{609}}{10}$. Все найденные корни входят в ОДЗ. Ответ: $1; 4; \frac{-23 \pm \sqrt{609}}{10}$.