ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.38

1) Выполним действия по порядку: 1. Выполним вычитание в скобках: $$ \frac{x^2}{y} - \frac{y^2}{x} = \frac{x^3 - y^3}{xy} $$ 2. Умножим полученный результат на дробь $\frac{1}{x+y}$, используя формулу разности кубов: $$ \frac{1}{x+y} \cdot \frac{x^3 - y^3}{xy} = \frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{xy(x+y)} $$ 3. Выполним вычитание в первых больших скобках: $$ \frac{x^2 - y^2}{xy} - \frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{xy(x+y)} = \frac{(x^2 - y^2)(x+y) - (x-y)(x^2 + xy + y^2)}{xy(x+y)} $$ Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки в числителе: $$ = \frac{(x-y) \left( (x+y)^2 - (x^2 + xy + y^2) \right)}{xy(x+y)} = \frac{(x-y)(x^2 + 2xy + y^2 - x^2 - xy - y^2)}{xy(x+y)} $$ $$ = \frac{(x-y) \cdot xy}{xy(x+y)} = \frac{x-y}{x+y} $$ 4. Выполним деление: $$ \frac{x-y}{x+y} : \frac{x-y}{x} = \frac{x-y}{x+y} \cdot \frac{x}{x-y} = \frac{x}{x+y} $$ Ответ: $\frac{x}{x+y}$. --- 2) Выполним действия по порядку: 1. Преобразуем первое произведение: $$ \frac{m^2 + n^2}{m^2n^2} \cdot \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right) = \frac{m^2 + n^2}{m^2n^2} \cdot \frac{n^2 - m^2}{m^2n^2} = \frac{n^4 - m^4}{m^4n^4} = \frac{1}{m^4} - \frac{1}{n^4} $$ 2. Преобразуем второе произведение: $$ \left( \frac{1}{p^2} - \frac{1}{n^2} \right) \cdot \frac{p^2 + n^2}{p^2n^2} = \frac{n^2 - p^2}{p^2n^2} \cdot \frac{p^2 + n^2}{p^2n^2} = \frac{n^4 - p^4}{p^4n^4} = \frac{1}{p^4} - \frac{1}{n^4} $$ 3. Выполним вычитание в больших скобках: $$ \left( \frac{1}{m^4} - \frac{1}{n^4} \right) - \left( \frac{1}{p^4} - \frac{1}{n^4} \right) = \frac{1}{m^4} - \frac{1}{p^4} = \frac{p^4 - m^4}{m^4p^4} $$ 4. Выполним деление: $$ \frac{p^4 - m^4}{m^4p^4} : \frac{p^2 + m^2}{p^2m^2} = \frac{(p^2 - m^2)(p^2 + m^2)}{m^4p^4} \cdot \frac{p^2m^2}{p^2 + m^2} = \frac{p^2 - m^2}{m^2p^2} $$ Ответ: $\frac{p^2 - m^2}{m^2p^2}$ (или $\frac{1}{m^2} - \frac{1}{p^2}$). --- 3) Выполним действия по порядку: 1. Преобразуем первую скобку по формуле суммы кубов: $$ \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} = \frac{a^3 + b^3}{a^3b^3} = \frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a^3b^3} $$ 2. Приведем выражения во второй скобке к общему знаменателю: $$ \frac{a(b-a)}{a^2 - ab + b^2} + 1 = \frac{ab - a^2 + a^2 - ab + b^2}{a^2 - ab + b^2} = \frac{b^2}{a^2 - ab + b^2} $$ 3. Выполним умножение полученных дробей: $$ \frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a^3b^3} \cdot \frac{b^2}{a^2 - ab + b^2} = \frac{a+b}{a^3b} $$ Ответ: $\frac{a+b}{a^3b}$. --- 4) Выполним действия по порядку: 1. Упростим выражение в первой скобке: $$ \frac{a^2 + b^2}{ab} - 2 = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab} $$ 2. Упростим выражение во второй скобке: $$ \frac{2a^2 + 2ab}{a^2 + 2ab + b^2} - 1 = \frac{2a(a+b)}{(a+b)^2} - 1 = \frac{2a}{a+b} - 1 = \frac{2a - (a+b)}{a+b} = \frac{a-b}{a+b} $$ 3. Упростим выражение в третьей скобке: $$ \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b} = \frac{(a-b) + (a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a}{(a+b)(a-b)} $$ 4. Выполним деление: $$ \frac{(a-b)^2}{ab} : \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a-b)^2}{ab} \cdot \frac{a+b}{a-b} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab} $$ 5. Выполним умножение: $$ \frac{(a-b)(a+b)}{ab} \cdot \frac{2a}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a}{ab} = \frac{2}{b} $$ Ответ: $\frac{2}{b}$. --- 5) Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: 1. Разложим первую группу слагаемых в числителе с помощью формулы разности квадратов: $$ x^2 - y^2 - z^2 - 2yz = x^2 - (y^2 + 2yz + z^2) = x^2 - (y+z)^2 = (x - (y+z))(x + (y+z)) = (x - y - z)(x + y + z) $$ Тогда числитель равен: $$ (x - y - z)(x + y + z)(x + y - z) $$ 2. Разложим скобку во второй части знаменателя: $$ x^2 + z^2 - 2xz - y^2 = (x - z)^2 - y^2 = (x - z - y)(x - z + y) = (x - y - z)(x + y - z) $$ Тогда знаменатель равен: $$ (x + y + z)(x - y - z)(x + y - z) $$ 3. Сократим дробь: $$ \frac{(x - y - z)(x + y + z)(x + y - z)}{(x + y + z)(x - y - z)(x + y - z)} = 1 $$ Ответ: $1$. --- 6) Разложим числитель и знаменатель дроби способом группировки: 1. Преобразуем числитель: $$ a^2 - 3ab + ac + 2b^2 - 2bc = (a^2 - 3ab + 2b^2) + (ac - 2bc) $$ Так как $a^2 - 3ab + 2b^2 = a^2 - ab - 2ab + 2b^2 = a(a-b) - 2b(a-b) = (a-b)(a-2b)$, получаем: $$ (a-b)(a-2b) + c(a-2b) = (a-2b)(a - b + c) $$ 2. Преобразуем знаменатель: $$ a^2 - b^2 + 2bc - c^2 = a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - (b-c)^2 $$ $$ = (a - (b-c))(a + (b-c)) = (a - b + c)(a + b - c) $$ 3. Сократим полученную дробь на общий множитель $(a - b + c)$: $$ \frac{(a-2b)(a - b + c)}{(a - b + c)(a + b - c)} = \frac{a - 2b}{a + b - c} $$ Ответ: $\frac{a - 2b}{a + b - c}$.