ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.37

**Доказательство:** Разложим данное выражение на множители: $$ n^5 - 5n^3 + 4n = n(n^4 - 5n^2 + 4) $$ Квадратный трехчлен относительно $n^2$ раскладывается на множители: $$ n^4 - 5n^2 + 4 = (n^2 - 1)(n^2 - 4) $$ Применим формулу разности квадратов к каждой скобке: $$ (n^2 - 1)(n^2 - 4) = (n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) $$ Запишем множители в порядке возрастания: $$ n^5 - 5n^3 + 4n = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) $$ Полученное выражение представляет собой произведение пяти последовательных целых чисел. Разложим число $120$ на взаимно простые множители: $120 = 3 \cdot 5 \cdot 8$. Обоснуем делимость произведения на каждый из этих множителей: 1. Среди любых пяти последовательных целых чисел ровно одно делится на $5$, следовательно, произведение делится на $5$. 2. Среди любых пяти последовательных целых чисел хотя бы одно делится на $3$, следовательно, произведение делится на $3$. 3. Среди пяти последовательных целых чисел присутствуют как минимум два чётных числа, причем одно из них обязательно делится на $4$, а другое делится как минимум на $2$. Значит, произведение делится на $2 \cdot 4 = 8$. Так как числа $3$, $5$ и $8$ попарно взаимно просты, произведение пяти последовательных чисел делится на их произведение: $$ 3 \cdot 5 \cdot 8 = 120 $$ Следовательно, при каждом натуральном $n$ значение выражения $n^5 - 5n^3 + 4n$ делится на 120, что и требовалось доказать.