ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.42

### 1) $$ \begin{cases} 3x + 5y = 11, \\ 2x - 3y = 17 \end{cases} $$ Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на $3$, а второе — на $5$: $$ \begin{cases} 9x + 15y = 33, \\ 10x - 15y = 85 \end{cases} $$ Сложим почленно оба уравнения системы: $$ (9x + 10x) + (15y - 15y) = 33 + 85 $$ $$ 19x = 118 \implies x = \frac{118}{19} = 6\frac{4}{19} $$ Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение: $$ 3 \cdot \frac{118}{19} + 5y = 11 $$ $$ \frac{354}{19} + 5y = 11 $$ $$ 5y = 11 - \frac{354}{19} = \frac{209 - 354}{19} = -\frac{145}{19} $$ $$ y = -\frac{145}{19 \cdot 5} = -\frac{29}{19} = -1\frac{10}{19} $$ **Ответ:** $\left(6\frac{4}{19}; -1\frac{10}{19}\right)$. --- ### 2) $$ \begin{cases} 20x - 15y = 51, \\ 4x - 3y = 10,2 \end{cases} $$ Разделим первое уравнение системы на $5$: $$ \frac{20x - 15y}{5} = \frac{51}{5} \implies 4x - 3y = 10,2 $$ Получили уравнение, полностью совпадающее со вторым: $$ \begin{cases} 4x - 3y = 10,2, \\ 4x - 3y = 10,2 \end{cases} $$ Уравнения зависимы, следовательно, система имеет бесконечно много решений. Выразим переменную $x$ через $y$: $$ 4x = 3y + 10,2 \implies x = 0,75y + 2,55, \quad y \in \mathbb{R} $$ **Ответ:** бесконечно много решений вида $(0,75y + 2,55; y)$, где $y \in \mathbb{R}$. --- ### 3) $$ \begin{cases} 3x + 5y = 20, \\ 6x + 10y = 7 \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $2$: $$ \begin{cases} 6x + 10y = 40, \\ 6x + 10y = 7 \end{cases} $$ Левые части уравнений одинаковы, а правые части различны ($40 \neq 7$). Получаем противоречие: $0 = 33$, что неверно. Следовательно, система не имеет решений. **Ответ:** нет решений. --- ### 4) $$ \begin{cases} x + 2y = 3, \\ x^2 - 3xy + 5y^2 = 3 \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $$ x = 3 - 2y $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ (3 - 2y)^2 - 3(3 - 2y)y + 5y^2 = 3 $$ Раскроем скобки: $$ 9 - 12y + 4y^2 - 9y + 6y^2 + 5y^2 = 3 $$ Приведем подобные члены: $$ 15y^2 - 21y + 6 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $3$: $$ 5y^2 - 7y + 2 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9 = 3^2 $$ $$ y_1 = \frac{7 + 3}{2 \cdot 5} = 1, \quad y_2 = \frac{7 - 3}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = 0,4 $$ Найдем соответствующие значения $x$: 1) Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 3 - 2 \cdot 1 = 1$. 2) Если $y_2 = 0,4$, то $x_2 = 3 - 2 \cdot 0,4 = 3 - 0,8 = 2,2$. **Ответ:** $(1; 1)$, $(2,2; 0,4)$. --- ### 5) $$ \begin{cases} 3x + 4y = 12, \\ x^2 + y^2 = 5,76 \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $$ 3x = 12 - 4y \implies x = 4 - \frac{4}{3}y $$ Подставим выражение во второе уравнение: $$ \left(4 - \frac{4}{3}y\right)^2 + y^2 = 5,76 $$ $$ 16 - \frac{32}{3}y + \frac{16}{9}y^2 + y^2 = 5,76 $$ $$ \frac{25}{9}y^2 - \frac{32}{3}y + 10,24 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $225$ (так как $10,24 = \frac{256}{25}$, а общий знаменатель $9 \cdot 25 = 225$): $$ 625y^2 - 2400y + 2304 = 0 $$ Заметим формулу квадрата разности: $$ (25y - 48)^2 = 0 \implies 25y = 48 \implies y = \frac{48}{25} = 1,92 $$ Найдем $x$: $$ x = 4 - \frac{4}{3} \cdot \frac{48}{25} = 4 - \frac{64}{25} = \frac{36}{25} = 1,44 $$ **Ответ:** $(1,44; 1,92)$. --- ### 6) $$ \begin{cases} 5x - 12y = 60, \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} $$ Выразим $x$ из первого уравнения: $$ 5x = 60 + 12y \implies x = 12 + 2,4y $$ Подставим во второе уравнение: $$ (12 + 2,4y)^2 + y^2 = 4 $$ $$ 144 + 57,6y + 5,76y^2 + y^2 = 4 $$ $$ 6,76y^2 + 57,6y + 140 = 0 $$ Вычислим дискриминант: $$ D = 57,6^2 - 4 \cdot 6,76 \cdot 140 = 3317,76 - 3785,6 = -467,84 $$ Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. **Ответ:** нет решений. --- ### 7) $$ \begin{cases} x = 3y, \\ x^2 + 5xy + 7y^2 = 31 \end{cases} $$ Подставим $x = 3y$ во второе уравнение: $$ (3y)^2 + 5(3y)y + 7y^2 = 31 $$ $$ 9y^2 + 15y^2 + 7y^2 = 31 $$ $$ 31y^2 = 31 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1 $$ Найдем значения $x$: 1) Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 3 \cdot 1 = 3$. 2) Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 3 \cdot (-1) = -3$. **Ответ:** $(3; 1)$, $(-3; -1)$. --- ### 8) $$ \begin{cases} 2x - 3y = 0, \\ x^2 + 3xy + 5y^2 = 47 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $x$: $$ 2x = 3y \implies x = \frac{3}{2}y = 1,5y $$ Подставим во второе уравнение: $$ (1,5y)^2 + 3(1,5y)y + 5y^2 = 47 $$ $$ 2,25y^2 + 4,5y^2 + 5y^2 = 47 $$ $$ 11,75y^2 = 47 \implies y^2 = \frac{47}{11,75} = 4 \implies y = \pm 2 $$ Найдем значения $x$: 1) Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 1,5 \cdot 2 = 3$. 2) Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 1,5 \cdot (-2) = -3$. **Ответ:** $(3; 2)$, $(-3; -2)$. --- ### 9) $$ \begin{cases} x^2 - 5xy + 4y^2 = 0, \\ x^2 + 3xy + 5y^2 = 5 \end{cases} $$ Разложим левую часть первого уравнения на множители: $$ x^2 - xy - 4xy + 4y^2 = 0 $$ $$ x(x - y) - 4y(x - y) = 0 \implies (x - y)(x - 4y) = 0 $$ Отсюда следует, что либо $x = y$, либо $x = 4y$. Рассмотрим оба случая. **Случай 1:** $x = y$. Подставим во второе уравнение: $$ y^2 + 3y^2 + 5y^2 = 5 \implies 9y^2 = 5 \implies y^2 = \frac{5}{9} \implies y = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} $$ Так как $x = y$, получаем две пары решений: $$ \left(\frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{\sqrt{5}}{3}\right) \quad \text{и} \quad \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}; -\frac{\sqrt{5}}{3}\right) $$ **Случай 2:** $x = 4y$. Подставим во второе уравнение: $$ (4y)^2 + 3(4y)y + 5y^2 = 5 $$ $$ 16y^2 + 12y^2 + 5y^2 = 5 \implies 33y^2 = 5 \implies y^2 = \frac{5}{33} \implies y = \pm \frac{\sqrt{165}}{33} $$ Найдем $x = 4y$: $$ x = \pm \frac{4\sqrt{165}}{33} $$ Получаем еще две пары решений: $$ \left(\frac{4\sqrt{165}}{33}; \frac{\sqrt{165}}{33}\right) \quad \text{и} \quad \left(-\frac{4\sqrt{165}}{33}; -\frac{\sqrt{165}}{33}\right) $$ **Ответ:** $\left(\frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{\sqrt{5}}{3}\right)$, $\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}; -\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$, $\left(\frac{4\sqrt{165}}{33}; \frac{\sqrt{165}}{33}\right)$, $\left(-\frac{4\sqrt{165}}{33}; -\frac{\sqrt{165}}{33}\right)$.