ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.43

Рассмотрим первое уравнение системы: $$ y^2 + 2(x+2)y + (x^2 + 2x)(4 - x^2) = 0 $$ Преобразуем свободный член уравнения относительно переменной $y$: $$ (x^2 + 2x)(4 - x^2) = x(x+2)(2-x)(2+x) = x(2-x)(x+2)^2 $$ Решим уравнение как квадратное относительно $y$. Найдём четверть дискриминанта $D_1$: $$ D_1 = (x+2)^2 - x(2-x)(x+2)^2 = (x+2)^2 \bigl(1 - 2x + x^2\bigr) = (x+2)^2 (x-1)^2 $$ Так как $D_1 \ge 0$, корни уравнения выражаются следующим образом: $$ y = -(x+2) \pm (x+2)(x-1) $$ Получаем два уравнения: 1) $y = -(x+2) + (x+2)(x-1) = (x+2)(x-2) = x^2 - 4$; 2) $y = -(x+2) - (x+2)(x-1) = -(x+2)x = -x^2 - 2x$. Таким образом, график первого уравнения представляет собой объединение двух парабол: $y = x^2 - 4$ и $y = -x^2 - 2x$. Второе уравнение системы: $$ y - ax - 3a = 0 \iff y = a(x+3) $$ Оно задаёт семейство прямых, проходящих через фиксированную точку $M(-3; 0)$. Решения исходной системы — это точки пересечения прямой $y = a(x+3)$ с параболами $y = x^2 - 4$ и $y = -x^2 - 2x$. Найдем точки пересечения этих парабол друг с другом: $$ x^2 - 4 = -x^2 - 2x \iff 2x^2 + 2x - 4 = 0 \iff x^2 + x - 2 = 0 $$ Отсюда: - $x = -2 \implies y = (-2)^2 - 4 = 0$, получаем точку $A(-2; 0)$; - $x = 1 \implies y = 1^2 - 4 = -3$, получаем точку $B(1; -3)$. Исследуем количество точек пересечения прямой с каждой параболой: 1. Пересечение с параболой $y = x^2 - 4$: $$ x^2 - 4 = a(x+3) \iff x^2 - ax - (3a+4) = 0 $$ Дискриминант этого уравнения: $$ D_a = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(3a+4)) = a^2 + 12a + 16 $$ Корни $D_a = 0$: $$ a = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2} = -6 \pm 2\sqrt{5} $$ - При $a < -6 - 2\sqrt{5}$ или $a > -6 + 2\sqrt{5}$ прямая пересекает первую параболу в 2 точках; - При $a = -6 \pm 2\sqrt{5}$ прямая касается первой параболы (1 точка); - При $-6 - 2\sqrt{5} < a < -6 + 2\sqrt{5}$ точек пересечения нет (0 точек). 2. Пересечение с параболой $y = -x^2 - 2x$: $$ -x^2 - 2x = a(x+3) \iff x^2 + (a+2)x + 3a = 0 $$ Дискриминант этого уравнения: $$ D_b = (a+2)^2 - 4 \cdot 3a = a^2 - 8a + 4 $$ Корни $D_b = 0$: $$ a = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3} $$ - При $a < 4 - 2\sqrt{3}$ или $a > 4 + 2\sqrt{3}$ прямая пересекает вторую параболу в 2 точках; - При $a = 4 \pm 2\sqrt{3}$ прямая касается второй параболы (1 точка); - При $4 - 2\sqrt{3} < a < 4 + 2\sqrt{3}$ точек пересечения нет (0 точек). 3. Случаи прохождения прямой через общие точки парабол: - Через точку $A(-2; 0)$: $0 = a(-2+3) \implies a = 0$. При $a = 0$ прямая $y = 0$ пересекает первую параболу в точках $(-2; 0)$ и $(2; 0)$, а вторую — в точках $(-2; 0)$ и $(0; 0)$. Общее число различных решений равно $3$. - Через точку $B(1; -3)$: $-3 = a(1+3) \implies a = -\frac{3}{4}$. При $a = -\frac{3}{4}$ прямая пересекает каждую из парабол в точке $B(1; -3)$ и ещё в одной собственной точке на каждой параболе. Общее число различных решений равно $3$. Оценим взаимное расположение найденных граничных значений $a$: $$ -6 - 2\sqrt{5} \approx -10{,}47 $$ $$ -6 + 2\sqrt{5} \approx -1{,}53 $$ $$ 4 - 2\sqrt{3} \approx 0{,}54 $$ $$ 4 + 2\sqrt{3} \approx 7{,}46 $$ Заметим, что значения $a = -\frac{3}{4} = -0{,}75$ и $a = 0$ лежат строго внутри промежутка $(-6 + 2\sqrt{5}; 4 - 2\sqrt{3})$. Подсчитаем общее число различных решений системы $N$ в зависимости от $a$: - При $a \in (-\infty; -6 - 2\sqrt{5})$: $N = 2 + 2 = 4 \ge 3$; - При $a = -6 - 2\sqrt{5}$: $N = 1 + 2 = 3 \ge 3$; - При $a \in (-6 - 2\sqrt{5}; -6 + 2\sqrt{5})$: $N = 0 + 2 = 2 < 3$; - При $a = -6 + 2\sqrt{5}$: $N = 1 + 2 = 3 \ge 3$; - При $a \in (-6 + 2\sqrt{5}; 4 - 2\sqrt{3}) \setminus \left\{-\frac{3}{4}; 0\right\}$: точки не совпадают, $N = 2 + 2 = 4 \ge 3$; - При $a = -\frac{3}{4}$ и $a = 0$: $N = 2 + 2 - 1 = 3 \ge 3$; - При $a = 4 - 2\sqrt{3}$: $N = 2 + 1 = 3 \ge 3$; - При $a \in (4 - 2\sqrt{3}; 4 + 2\sqrt{3})$: $N = 2 + 0 = 2 < 3$; - При $a = 4 + 2\sqrt{3}$: $N = 2 + 1 = 3 \ge 3$; - При $a \in (4 + 2\sqrt{3}; +\infty)$: $N = 2 + 2 = 4 \ge 3$. Следовательно, система имеет не менее трёх различных решений при $a \in (-\infty; -6 - 2\sqrt{5}] \cup [-6 + 2\sqrt{5}; 4 - 2\sqrt{3}] \cup [4 + 2\sqrt{3}; +\infty)$. Ответ: $a \in (-\infty; -6 - 2\sqrt{5}] \cup [-6 + 2\sqrt{5}; 4 - 2\sqrt{3}] \cup [4 + 2\sqrt{3}; +\infty)$.