ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.1

В записи пятизначного числа $\overline{5431a}$ буква $a$ является последней цифрой, то есть $a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Чтобы число $\frac{\overline{5431a}}{3}$ было целым (делилось нацело на указанные числа), числитель $\overline{5431a}$ должен делиться на $3$. По признаку делимости на $3$ сумма цифр числа должна быть кратна $3$: $$ 5 + 4 + 3 + 1 + a = 13 + a $$ Среди цифр от $0$ до $9$ сумма $13 + a$ делится на $3$ при: - $a = 2$: $13 + 2 = 15$, число равно $\frac{54312}{3} = 18104$; - $a = 5$: $13 + 5 = 18$, число равно $\frac{54315}{3} = 18105$; - $a = 8$: $13 + 8 = 21$, число равно $\frac{54318}{3} = 18106$. Проверим полученные значения $\frac{\overline{5431a}}{3} \in \{18104, 18105, 18106\}$ на делимость для каждого пункта: 1) **Делится на 2** Число делится на $2$, если его последняя цифра чётная. - При $a = 2$: число $18104$ оканчивается на $4$ (делится на $2$). - При $a = 5$: число $18105$ оканчивается на $5$ (не делится на $2$). - При $a = 8$: число $18106$ оканчивается на $6$ (делится на $2$). Итог: $a = 2;\ 8$. 2) **Делится на 3** Число делится на $3$, если сумма его цифр делится на $3$. - При $a = 2$: сумма цифр числа $18104$ равна $1 + 8 + 1 + 0 + 4 = 14$ (не делится на $3$). - При $a = 5$: сумма цифр числа $18105$ равна $1 + 8 + 1 + 0 + 5 = 15$ (делится на $3$). - При $a = 8$: сумма цифр числа $18106$ равна $1 + 8 + 1 + 0 + 6 = 16$ (не делится на $3$). Итог: $a = 5$. 3) **Делится на 4** Число делится на $4$, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на $4$. - При $a = 2$: две последние цифры образуют число $04$, $4$ делится на $4$ ($18104 : 4 = 4526$). - При $a = 5$: число $18105$ нечётное (не делится на $4$). - При $a = 8$: две последние цифры образуют число $06$, $6$ не делится на $4$. Итог: $a = 2$. 4) **Делится на 5** Число делится на $5$, если его последняя цифра $0$ или $5$. - Число $18104$ оканчивается на $4$. - Число $18105$ оканчивается на $5$ (делится на $5$). - Число $18106$ оканчивается на $6$. Итог: $a = 5$. 5) **Делится на 6** Число делится на $6$, если оно одновременно делится на $2$ и на $3$. - $18104$ делится на $2$, но не делится на $3$. - $18105$ делится на $3$, но не делится на $2$. - $18106$ делится на $2$, но не делится на $3$. Итог: таких значений $a$ нет. 6) **Делится на 9** Число делится на $9$, если сумма его цифр делится на $9$. - Сумма цифр числа $18104$ равна $14$ (не делится на $9$). - Сумма цифр числа $18105$ равна $15$ (не делится на $9$). - Сумма цифр числа $18106$ равна $16$ (не делится на $9$). Итог: таких значений $a$ нет. 7) **Делится на 10** Число делится на $10$, если оно оканчивается на $0$. - Ни одно из чисел $18104$, $18105$, $18106$ не оканчивается на $0$. Итог: таких значений $a$ нет. 8) **Делится на 11** Число делится на $11$, если знакочередующаяся сумма его цифр делится на $11$. - При $a = 2$: для числа $18104$ имеем $(1 + 1 + 4) - (8 + 0) = 6 - 8 = -2$ (не делится на $11$). - При $a = 5$: для числа $18105$ имеем $(1 + 1 + 5) - (8 + 0) = 7 - 8 = -1$ (не делится на $11$). - При $a = 8$: для числа $18106$ имеем $(1 + 1 + 6) - (8 + 0) = 8 - 8 = 0$, число $0$ делится на $11$ ($18106 : 11 = 1646$). Итог: $a = 8$. **Ответ:** 1) $a = 2;\ 8$; 2) $a = 5$; 3) $a = 2$; 4) $a = 5$; 5) таких значений нет; 6) таких значений нет; 7) таких значений нет; 8) $a = 8$.